ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2559

ข้อ 26

ถ้า $a$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ $\int_{- 1}^{1} a (1 - x^{2}) d x = \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$ แล้ว $a$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{2 π}{5}$
2
$\frac{2 π}{7}$
3
$\frac{3 π}{7}$
4
$\frac{π}{3}$
5
$\frac{3 π}{8}$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ \int_{- 1}^{1} a (1 - x^{2}) d x = \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x \to 1 พิจารณาหาค่า \int_{- 1}^{1} a (1 - x^{2}) d x โดยการวาดกราฟ \sqrt{1 - x^{2}}$

$กำหนดให้ y = \sqrt{1 - x^{2}} จะได้ y^{2} = 1 - x^{2} เมื่อ y \geq 0 x^{2} + y^{2} = 1; สมการวงกลม x^{2} + y^{2} = r^{2} โดย y = \sqrt{1 - x^{2}} เป็นสมการของครึ่งวงกลม รัศมี 1 หน่วย (r = 1) เหนือแกน x$

$ดังนั้น \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x = พื้นที่ปิดล้อมของครึ่งวงกลมเหนือแกน x = \frac{1}{2} π \cdot r^{2} = \frac{1}{2} π {(1)}^{2} = \frac{π}{2}; แทนใน 1 จาก 1 \int_{- 1}^{1} a (1 - x^{2}) d x = \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x a \int_{- 1}^{1} (1 - x^{2}) d x = \frac{π}{2}$

$a {(x - \frac{x^{3}}{3})}_{- 1}^{1} = \frac{π}{2} a {((1 - \frac{1^{3}}{3}) - (- 1 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))}_{- 1}^{1} = \frac{π}{2} a (1 - \frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{3}) = \frac{π}{2} \frac{4 a}{3} = \frac{π}{2} a = \frac{3 π}{8}$