ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2565 (หลักสูตรใหม่)

ข้อ 8

ให้ $f (x) = 2 \log_{2} x$ และ $g (x) = 2 \log_{4} (x + 1) + 1$ ถ้ากราฟของฟังกชัน $f$ และ $g$ ตัดกันที่จุด $(a, b)$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง แล้วค่าของ $a$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือข้อใด

1
$\sqrt{2} - 1$
2
$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
3
$1 + \sqrt{3}$
4
$1 + \sqrt{3}$ และ $1 - \sqrt{3}$
5
$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ และ $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$N o t e สมบัติ \log ที่ควรรู้ในการทำข้อนี้ 1) \log_{a} M + \log_{a} N = \log_{a} M N 2) \log_{a} a = 1 3) \log_{a} M^{n} = n \log_{a} M 4) \log_{a^{n}} M = \frac{1}{n} \log_{a} M$

$จากโจทย์ กราฟฟังก์ชัน f และ g ตัดกันที่จุด (a, b) จะได้ว่า f (x) = g (x) 2 \log_{2} x = 2 \log_{4} (x + 1) + 1 2 \log_{2} x = 2 \log_{2^{2}} (x + 1) + \log_{2} 2 \log_{2} x^{2} = \log_{2} (x + 1) + \log_{2} 2 \log_{2} (x^{2}) = \log_{2} (2 x + 2) x^{2} = 2 x + 2 x^{2} - 2 x - 2 = 0$

$หา x จาก x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} x = \frac{- (- 2) \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 (1) (2)}}{2 (1)} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \pm \sqrt{3} จะได้ x = 1 + \sqrt{3} หรือ 1 - \sqrt{3}$

$ระวัง!! อย่าลืมเช็คคำตอบว่าหลัง \log ต้อง \geq 0 เสมอ c h e c k f (x) = 2 \log_{2} x กรณี x = 1 + \sqrt{3}; f (1 + \sqrt{3}) = 2 \log_{2} (1 + \sqrt{3}) กรณี x = 1 - \sqrt{3}; f (1 - \sqrt{3}) = 2 \log_{2} (1 - \sqrt{3}); 1 - \sqrt{3} \leq 0 ทำให้หลัง \log มีค่าติดลบ c h e c k g (x) = 2 \log_{4} (x + 1) + 1 กรณี x = 1 + \sqrt{3}; g (1 + \sqrt{3}) = 2 \log_{4} (2 + \sqrt{3}) + 1 กรณี x = 1 - \sqrt{3}; g (1 - \sqrt{3}) = 2 \log_{4} (2 - \sqrt{3}) + 1 ดังนั้น ค่า a ที่เป็นไปได้ ก็คือ 1 + \sqrt{3}$