ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2566 (หลักสูตรใหม่)

ข้อ 11

กำหนดแบบรูปของแผนภาพบันไดไม้ขีดไฟดังนี้

โดยที่ แทน ไม้ขีดไฟ $1$ ก้าน

ถ้ามะลิมีไม้ขีดไฟจำนวน $990$ ก้าน เพื่อต่อเป็นรูปบันได $1$ รูป

แล้วมะลิจะสามารถสร้างบันไดไม้ขีดไฟได้จำนวนขั้นบันไดมากที่สุดกี่ชั้น

1
$25$
2
$29$
3
$30$
4
$31$
5
$33$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากรูป บันไดไม้ขีดไฟ จะได้ ไม้ขีดไฟ 1 ขั้น ใช้ไม้ขีดไฟ 4 ก้าน ไม้ขีดไฟ 2 ขั้น ใช้ไม้ขีดไฟ 4 + 6 ก้าน ไม้ขีดไฟ 3 ขั้น ใช้ไม้ขีดไฟ 4 + 6 + 8 ก้าน ⋮ ⋮ ไม้ขีดไฟ n ขั้น ใช้ไม้ขีดไฟ 4 + 6 + 8 + \dots + ก้าน$

$กำหนดให้ n = จำนวนขั้นของไม้ขีดไฟ จะเห็นว่า 4, 6, 8, \dots เป็นอนุกรมเลขคณิต ห่างกันทีละ 2 จะได้ = 2 n + 2 แสดงว่า ไม้ขีดไฟ n ขั้น ใช้ไม้ขีดไฟ 4 + 6 + 8 + \dots + (2 n + 2) ก้าน จากสูตรผลรวมอนุกรมเลขคณิต S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$

$จากโจทย์ มะลิมีไม้ขีดไฟจำนวน 990 ก้าน เพื่อต่อเป็นรูปบันได 1 รูป จะสามารถสร้างบันไดไม้ขีดไฟได้จำนวนขั้นบันไดมากที่สุดกี่ขั้น จะได้ 4 + 6 + 8 + \dots + (2 n + 2) \leq 990 \frac{n}{2} (4 + (2 n + 2)) \leq 990$
$\frac{n}{2} (2 n + 6) \leq 990 n (n + 3) \leq 990 n^{2} + 3 n - 990 \leq 0 (n + 33) (n - 30) \leq 0 - 33 \leq n \leq 30$

$แต่ n คือ จำนวนขั้นของไม้ขีดไฟ แสดงว่า n ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก 0 \leq n \leq 30 ดังนั้น n มากที่สุด คือ 30 ขั้น มะลิจะสามารถสร้างบันไดไม้ขีดไฟได้จำนวนขั้นบันไดมากที่สุด 30 ขั้น$

ข้อถัดไป