ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2566 (หลักสูตรใหม่)

ข้อ 10

ถ้า $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, \dots$ เป็นลำดับอนันต์ โดยที่ $a_{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2}$

แล้ว $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ เท่ากับเท่าใด

1
$0$
2
$\frac{2}{3}$
3
$1$
4
$\frac{3}{2}$
5
หาผลบวกไม่ได้ เพราะอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a_{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} แทนค่า n = 1 a_{1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} แทนค่า n = 2 a_{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

$แทนค่า n = 3 a_{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3 + 2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} แทนค่า n = 4 a_{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4 + 2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} แทนค่า n = 5 a_{5} = \frac{1}{5} - \frac{1}{5 + 2} = \frac{1}{5} - \frac{1}{7}$

$⋮ ⋮ a_{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} a_{n - 1} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{(n - 1) + 2} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1}$

$จากโจทย์ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} เท่ากับเท่าใด \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + \dots$

$= (\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \dots + (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1}) + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2}) = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}$

$จะได้ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} ดังนั้น \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}) = 1 + \frac{1}{2} - 0 - 0 = \frac{3}{2}$