ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2556 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 2

กำหนดให้ $P (x) = 2 x^{3} + a x^{2} + b x + 12$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง ถ้า $2 i$ เป็นคำตอบของสมการ $P (x) = 0$ แล้ว $P (1)$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$นิยาม ถ้า a + b i เป็นคำตอบของสมการ P (x) = 0 จะได้ a - b i เป็นคำตอบของสมการ P (x) = 0 ด้วย จากโจทย์ 2 i เป็นคำตอบของสมการ P (x) = 0 จะได้ - 2 i เป็นคำตอบของสมการ P (x) = 0 ด้วย ดังนั้น x - 2 i และ x - (- 2 i) เป็นตัวประกอบของ P (x)$

$จากโจทย์ P (x) = 2 x^{3} + a x^{2} + b x + 12 \to 1 กำหนดให้ c x + d เป็นตัวประกอบหนึ่งของ P (x) แสดงว่า P (x) = [x - 2 i] [x - (- 2 i)] [c x + d] = [x - 2 i] [x + 2 i] [c x + d] โดย (x - y i) (x + y i) = x^{2} + y^{2} = [x^{2} + 2^{2}] [c x + d] = [x^{2} + 4] [c x + d]; แทนใน 1$

$จาก 1 จะได้ [x^{2} + 4] [c x + d] = 2 x^{3} + a x^{2} + b x + 12 c x^{3} + d x^{2} + 4 c x + 4 d = 2 x^{3} + a x^{2} + b x + 12 - เทียบ ส . ป . ส . ของพจน์ทั้ง 4 จะได้ c x^{3} = 2 x^{3} \to c = 2 d x^{2} = a x^{2} \to d = a 4 c x = b x \to 4 c = b 4 d = 12 \to d = 3 ดังนั้น a = d \to a = 3 b = 4 c \to b = 4 (2) = 8$

$- แทน a, b ลงใน 1 จาก 1 จะได้ P (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} + 8 x + 12 ดังนั้น P (1) = 2 {(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} + 8 (1) + 12 P (1) = 2 + 3 + 8 + 12 P (1) = 25$