ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2558 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 10

ถ้า $a_{n}$ เป็นลำดับของจำนวนจริงบวก ซึ่ง $\lim_{n \to \infty} a_{n}$ หาค่าได้ และ $a_{n} = \sqrt{\frac{1 + 2 n}{n} + a_{n}}$ แล้ว $\lim_{n \to \infty} a_{n}$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a_{n} = \sqrt{\frac{1 + 2 n}{n} + a_{n}}; take \lim_{n \to \infty} ทั้ง 2 ข้าง จะได้ \lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} (\sqrt{\frac{1 + 2 n}{n} + a_{n}}) ใช้ทฤษฎี limit (กระจายเข้ารูท); = \sqrt{\lim_{n \to \infty} (\frac{1 + 2 n}{n} + a_{n})} = \sqrt{\lim_{n \to \infty} (\frac{1 + 2 n}{n}) + \lim_{n \to \infty} a_{n}} = \sqrt{\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n} + \frac{2 n}{n}) + \lim_{n \to \infty} a_{n}} = \sqrt{\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n}) + \lim_{n \to \infty} (\frac{2 n}{n}) + \lim_{n \to \infty} a_{n}}$

$= \sqrt{\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n}) + \lim_{n \to \infty} 2 + \lim_{n \to \infty} a_{n}}; \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n}) = 0 = \sqrt{0 + \lim_{n \to \infty} 2 + \lim_{n \to \infty} a_{n}}; \lim_{n \to \infty} 2 = 2 = \sqrt{2 + \lim_{n \to \infty} a_{n}} ดังนั้น \lim_{n \to \infty} a_{n} = \sqrt{2 + \lim_{n \to \infty} a_{n}} \to 1$

$กำหนดให้ A = \lim_{n \to \infty} a_{n} \to 2; แทนใน 1 จะได้ A = \sqrt{2 + A}; ยกกำลังสองทั้ง 2 ข้าง A^{2} = 2 + A A^{2} - A - 2 = 0 (A - 2) (A + 1) = 0 A = 2, - 1; แทนใน 2$

$ดังนั้น \lim_{n \to \infty} a_{n} = 2 หรือ \lim_{n \to \infty} a_{n} = - 1 จากโจทย์ a_{n} เป็นลำดับของจำนวนจริงบวก แสดงว่า \lim_{n \to \infty} a_{n} = 2$