ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2558 (วิชาสามัญเก่า)

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{ABC} \mathrm{เป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีด้าน} \mathrm{AB} \mathrm{และ} \mathrm{AC} \\ \mathrm{ยาวเท่ากับ} 3 \mathrm{หน่วย} \mathrm{และ} 5 \mathrm{หน่วย} \mathrm{ตามลำดับ} \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{AB}=3 , \mathrm{AC}=5 \\ -\mathrm{วาดรูปสามเหลี่ยม} \mathrm{ABC} \end{gathered}$$
         
$$\begin{gathered} \mathrm{กำหนดให้} \mathrm{a}=\mathrm{BC} \mathrm{b}=\mathrm{AC} \mathrm{c}=\mathrm{AB} \\ \mathrm{b}=5 \mathrm{c}=3 \\ \mathrm{จากโจทย์} \arccos \left(-\frac{1}{15}\right)=\mathrm{B}+\mathrm{C} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}; \mathrm{take} \cos \mathrm{ทั้ง} 2 \mathrm{ข้าง} \\ \cos (\arccos \left(-\frac{1}{15}\right))=\cos (\mathrm{B}+\mathrm{C}) \\ \hspace{0.17em}-\frac{1}{15}=\cos (\mathrm{B}+\mathrm{C})\to \boxed{1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{กฎของ} \mathrm{cosin} {\mathrm{a}}^2={\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2-2\mathrm{bccosA} \\ {\mathrm{a}}^2=5^2+3^2-2\left(5\right)\left(3\right)\mathrm{cosA} \\ {\mathrm{a}}^2=34-30\mathrm{cosA}\to \boxed{2} ; \mathrm{หามุม} \mathrm{A} \\ \mathrm{ABC} \mathrm{เป็นรูปสามเหลี่ยม} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} \mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=180° \\ \mathrm{A}=180°-\left(\mathrm{B}+\mathrm{C}\right) ; \mathrm{take} \cos \mathrm{ทั้ง} 2 \mathrm{ข้าง} \\ \cos \mathrm{A}=\cos \left[180°-\left(\mathrm{B}+\mathrm{C}\right) \right]; \cos \left(180°-\mathrm{\theta }\right)=-\mathrm{cos\theta } \\ =-\cos \left(\mathrm{B}+\mathrm{C}\right) ; \mathrm{จาก} \boxed{1} \\ \mathrm{จะได้} =-\left(-\frac{1}{15}\right) \\ =\frac{1}{15} \\ \mathrm{ดังนั้น} \cos \mathrm{A}=\frac{1}{15} ; \mathrm{แทนใน} \boxed{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} \boxed{2} \mathrm{จะได้} {\mathrm{a}}^2=34-30\left(\frac{1}{15}\right) \\ {\mathrm{a}}^2=32 \\ \mathrm{a}=\sqrt{32} \\ \mathrm{a}=4\sqrt{2} ; \mathrm{a}=\mathrm{BC} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{BC}=4\sqrt{2} \end{gathered}$$