ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2558

$สูตรไฮเพอร์โบลา \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 c^{2} = a^{2} + b^{2} จากโจทย์ H เป็นไฮเพอร์โบลา \frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{2} = 1 จะได้ (h, k) = (0, 0) a^{2} = 8 \to a = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} b^{2} = 2 \to b = \sqrt{2}$

$โดย c^{2} = a^{2} + b^{2} c^{2} = 8 + 2 c^{2} = 10 c = \sqrt{10} (ก) จากโจทย์ ผลคูณความชันของเส้นกำกับทั้งสอง ของ H เท่ากับ - \frac{1}{4} หาสมการเส้นกำกับทั้งสองของ H$
$สมการเส้นกำกับ y = \pm \frac{b}{a} x; แทนค่า a, b y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} x y = \pm \frac{1}{2} x จะได้ ความชันของเส้นกำกับ y = \frac{1}{2} x เท่ากับ \frac{1}{2} ความชันของเส้นกำกับ y = - \frac{1}{2} x เท่ากับ - \frac{1}{2} ดังนั้น ผลคูณความชันของเส้นกำกับ = (\frac{1}{2}) (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} ข้อ (ก) ถูกต้อง$

$(ข) จากโจทย์ {({PF}_{1} - {PF}_{2})}^{2} = 32 เมื่อ F_{1} = (\sqrt{10}, 0) และ F_{2} = (- \sqrt{10}, 0) นิยามไฮเพอร์โบลา F_{1}, F_{2} เป็นจุดโฟกัส และ P เป็นจุดบน H จะได้ ผลต่างของระยะ {PF}_{1} และ {PF}_{2} เท่ากับ 2 a (ผลต่างคงที่) หรือ {PF}_{1} - {PF}_{2} = 2 a; ยกกำลัง 2 ทั้ง 2 ข้าง {({PF}_{1} - {PF}_{2})}^{2} = {(2 a)}^{2} {({PF}_{1} - {PF}_{2})}^{2} = 4 a^{2}; แทน a^{2} = 8 = 4 (8) = 32$

$หาจุดโฟกัส ของไฮเพอร์โบลา; โดย (h, k) = (0, 0), c = \sqrt{10} จะได้ F_{1} = (0 + \sqrt{10}, 0) และ F_{2} = (0 - \sqrt{10}, 0) F_{1} = (\sqrt{10}, 0) F_{2} = (- \sqrt{10}, 0) ดังนั้น ข้อ (ข) ถูกต้อง$

$(ค) จากโจทย์ จุด P ไม่เป็นสมาชิกของเซต \{(x, y) | x > 0 และ y > \frac{x}{2}\} - วาดกราฟไฮเพอร์โบลา H$

$y = \frac{1}{2} x เป็นเส้นกำกับของ H แสดงว่า จุด P ไม่เป็นสมาชิกของเซต \{(x, y) | x > 0 และ y > \frac{x}{2}\} เนื่องจาก เส้นกำกับของ H ไม่สัมผัสกราฟไฮเพอร์โบลา ดังนั้น ข้อ (ค) ถูกต้อง (ง) จากโจทย์ ผลคูณของระยะทางจาก P ไปยังเส้นกำกับ ทั้งสองของ H มีค่าคงตัวเท่ากับ \frac{8}{5} โดย เส้นกำกับ L_{1} : y = \frac{1}{2} x จะได้ x - 2 y = 0 เส้นกำกับ L_{2} : y = - \frac{1}{2} x จะได้ x + 2 y = 0$

$สูตร ระยะจากจุด P (x_{1}, y_{1}) ไปยังเส้นตรง (Ax + By + C = 0) d = \frac{|{Ax}_{1} + {By}_{1} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \to 1 - ระยะทางจาก P (x, y) ไปยังเส้นกำกับ L_{1} จาก 1 จะได้ d_{1} = \frac{|1 x - 2 y + 0|}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}} d_{1} = \frac{|x - 2 y|}{\sqrt{5}} - ระยะทางจาก P (x, y) ไปยังเส้นกำกับ L_{2} จาก 1 จะได้ d_{2} = \frac{|1 x + 2 y + 0|}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}} d_{2} = \frac{|x + 2 y|}{\sqrt{5}}$

$ดังนั้น ผลคูณของระยะจาก P ไปยังเส้นกำกับทั้งสองของ H = d_{1} \times d_{2} = (\frac{|x - 2 y|}{\sqrt{5}}) (\frac{|x + 2 y|}{\sqrt{5}}) = \frac{|(x - 2 y) (x + 2 y)|}{5} = \frac{|x^{2} - 4 y^{2}|}{5} \to 2$

$จากโจทย์ \frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{2} = 1; คูณ 8 ทั้ง 2 ข้าง จะได้ 8 (\frac{x^{2}}{8}) - 8 (\frac{y^{2}}{2}) = 8 (1) x^{2} - 4 y^{2} = 8; แทนใน 2 จาก 2 จะได้ ผลคูณของระยะจาก P ไปยังเส้นกำกับของ H = \frac{|8|}{5} = \frac{|8|}{5} ข้อ (ง) ถูกต้อง$

ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2558 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 15

เฉลยข้อสอบ

Facebook Messenger

แชทผ่าน LINE