ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2558 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 23

ถ้า $f (x)$ เป็นฟังก์ชันซึ่งเส้นตรง $2 y = 3 x + 2$ สัมผัสกราฟของ $y = f (x)$ ที่จุด $(0, 1)$ แล้ว $\lim_{x \to 0} \frac{f (x) - 1}{x}$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$- \frac{3}{2}$
2
$- \frac{1}{2}$
3
$\frac{3}{2}$
4
$2$
5
$\frac{5}{2}$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ กราฟของ y = f (x) ที่ (0, 1) แสดงว่า f (0) = 1 จากโจทย์ เส้นตรง 2 y = 3 x + 2 สัมผัส y = f (x) ที่จุด (0, 1) หรือเส้นตรง 3 x - 2 y + 2 = 0 สัมผัส y = f (x) ที่จุด (0, 1) จะได้ ความชันของเส้นตรง = ความชันของ y = f (x) ที่ x = 0; สัมผัสกันความชันเท่ากัน m_{L} = m_{f (0)} \frac{- 3}{- 2} = 𝑓' (0) 𝑓' (0) = \frac{3}{2}$

$หาค่า \lim_{x \to 0} \frac{𝑓 (x) - 1}{x}; แทน x = 0 จะได้ \lim_{x \to 0} \frac{𝑓 (x) - 1}{x} = \frac{𝑓 (0) - 1}{0}; โดย f (0) = 1 = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0} แสดงว่า ยังหาค่าไม่ได้ ต้องใช้วิธีอื่น$

$ใช้วิธีโลปิตาล หาค่า limit หาค่า \lim_{x \to 0} \frac{𝑓 (x) - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [𝑓 (x) - 1]}{\frac{d}{d x} (x)} = \lim_{x \to 0} \frac{𝑓' (x)}{1} = \lim_{x \to 0} 𝑓' (x); แทน x = 0 = 𝑓' (0); โดย 𝑓' (0) = \frac{3}{2} ดังนั้น \lim_{x \to 0} \frac{𝑓 (x) - 1}{x} = \frac{3}{2}$