ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2559 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 14

กำหนดให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่งมีด้าน $AB = AC$ ถ้ามุม $A = 150 °$ และด้าน $BC$ ยาวเท่ากับ $16$ หน่วย แล้ว พื้นที่สามเหลี่ยม $ABC$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{64}{3}$ ตารางหน่วย
2
$64 (2 - \sqrt{3})$ ตารางหน่วย
3
$32 (3 - \sqrt{2})$ ตารางหน่วย
4
$64$ ตารางหน่วย
5
$64 (2 + \sqrt{3})$ ตารางหน่วย

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีด้าน AB = AC, มุม A = 150 ° แสดงว่า \overset{\land}{B} = \overset{\land}{C} = 15 °$

$สูตรตรีโกณ \tan (A - B) = \frac{tanA - tanB}{1 + tanAtanB} จะได้ \tan 15 ° = \frac{AD}{8} \tan (60 ° - 45 °) = \frac{AD}{8} \frac{\tan 60 ° - \tan 45 °}{1 + \tan 60 ° \tan 45 °} = \frac{AD}{8}$
$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} = \frac{AD}{8} AD = \frac{8 (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} AD = \frac{8 (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{8 (3 - 2 \sqrt{3} + 1)}{3^{2} - 1^{2}} = \frac{8 (3 - 2 \sqrt{3} + 1)}{2} = 4 (4 - 2 \sqrt{3}) = 8 (2 - \sqrt{3})$

$ดังนั้น พื้นที่ ∆ ABC = \frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times 16 \times 8 (2 - \sqrt{3}) = 64 (2 - \sqrt{3})$