ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2560 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 25

กำหนดให้ $a_{n}$ เป็นลำดับเลขคณิต ซึ่งมี $a_{1} = 2$ และผลต่างร่วมเท่ากับ $- \frac{2}{9}$

ถ้า $b_{n} = 2^{a_{n}}$ แล้วจำนวนเต็มบวก $m$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $b_{1} \cdot b_{2} \cdot b_{3} \cdot . . . \cdot b_{m} \geq 1024$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$7$
2
$8$
3
$9$
4
$10$
5
$11$

เฉลยข้อสอบ

$นิยาม a > 1 ถ้า a^{m} > a^{n} จะได้ m > n a^{m} < a^{n} จะได้ m < n$

$จากโจทย์ b_{1} \cdot b_{2} \cdot b_{3} \cdot \dots \cdot b_{m} \geq 1024; โดย b_{n} = 2^{a_{n}} จะได้ 2^{a_{1}} \cdot 2^{a_{2}} \cdot 2^{a_{3}} \cdot \dots \cdot 2^{a_{m}} \geq 1024 2^{a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{m}} \geq 2^{10} a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{m} \geq 10 \to 1 จากโจทย์ a_{n} เป็นลำดับเลขคณิต ซึ่งมี a_{1} = 2 และผลต่างร่วมเท่ากับ - \frac{2}{9} แสดงว่า a_{1} = 2, d = - \frac{2}{9}$

$สูตร S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2} [2 a_{1} + (n - 1) d] จาก 1 จะได้ \frac{m}{2} [2 a_{1} + (m - 1) d] \geq 10$

$\frac{m}{2} [2 (2) + (m - 1) (- \frac{2}{9})] \geq 10 m (4 - \frac{2}{9} m + \frac{2}{9}) \geq 20 36 m - 2 m^{2} + 2 m \geq 180 0 \geq m^{2} - 19 m + 90 m^{2} - 19 m + 90 \leq 0 (m - 9) (m - 10) \leq 0$