ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2561 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 20

ให้ $a_{1,} a_{2}, a_{3}, \dots, a_{50}$ เป็นลำดับเลขคณิต ถ้า $a_{1} = 5$ และ $a_{50} = 103$ แล้ว ${a_{1}}^{2} - {a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2} - {a_{4}}^{2} + \dots + {a_{49}}^{2} - {a_{50}}^{2}$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$- 5, 400$
2
$- 5, 000$
3
$108$
4
$5, 000$
5
$5, 400$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร ลำดับเลขคณิต a_{n} = a_{1} + (n - 1) d a_{n + 1} - a_{n} = d จากโจทย์ a_{1} = 5 และ a_{50} = 103 จากสูตร a_{n} = a_{1} + (n - 1) d a_{50} = a_{1} + 49 d 103 = 5 + 49 d d = 2$

$จากโจทย์ a_{1}^{2} - a_{2}^{2} + a_{3}^{2} - a_{4}^{2} + . . . + a_{49}^{2} - a_{50}^{2} = (a_{1}^{2} - a_{2}^{2}) + (a_{3}^{2} - a_{4}^{2}) + . . . + (a_{49}^{2} - a_{50}^{2}) = (a_{1} - a_{2}) (a_{1} + a_{2}) + (a_{3} - a_{4}) (a_{3} + a_{4}) + . . . + (a_{49} - a_{50}) (a_{49} + a_{50}) \to 1 โดย a_{n + 1} - a_{n} = d \to a_{n} - a_{n + 1} = - d$

$จาก 1 จะได้ = - d (a_{1} + a_{2}) + (- d) (a_{3} + a_{4}) + . . . + (- d) (a_{49} + a_{50}) = - d (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + . . . + a_{49} + a_{50}) = - d ({\sum a_{n}}_{n = 1}^{50}) = - d [\frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})] = - 2 [\frac{50}{2} (5 + 103)] = - 5, 400$