ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 9

ให้ $a$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับอสมการ $\log_{3} (5 (6^{a}) - 2^{2 a + 1}) > 2 a + 1$ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
$2 a + 1 > 0$
2
$|a| > 1$
3
$2^{a} > 1$
4
$1 < |a - 1| < 2$
5
$2^{a + 1} < 1$

เฉลยข้อสอบ

$นิยาม \log_{a} x > y ถ้า a > 1 จะได้ x > a^{y} จากโจทย์ \log_{3} (5 (6^{a}) - 2^{2 a + 1}) > 2 a + 1 จะได้ 5 (6^{a}) - 2^{2 a + 1} > 3^{2 a + 1} 5 {(2 \cdot 3)}^{a} - 2^{2 a} \cdot 2 > 3^{2 a} \cdot 3 5 (2^{a} \cdot 3^{a}) - 2 (2^{2 a}) > 3 (3^{2 a})$

$กำหนดให้ 2^{a} = x และ 3^{a} = y จะได้ 5 xy - 2 x^{2} > 3 y^{2} 2 x^{2} - 5 xy + 3 y^{3} < 0 (2 x - 3 y) (x - y) < 0 - หาค่า a เพื่อนำมา plot จุดเขียนเส้นจำนวน จะได้ 2 x - 3 y = 0 x - y = 0 2 x = 3 y x = y$

$- แทนค่า 2^{a} = x, 3^{a} = y จะได้ 2 (2^{a}) = 3 (3^{a}) 2^{a} = 3^{a} 2^{a + 1} = 3^{a + 1} แสดงว่า a + 1 = 0 a = 0 a = - 1 - นำค่า a มาเขียนเส้นจำนวน$

$ดังนั้น a \in (- 1, 0) พิจารณาตัวเลือก โดยลองแทนค่า a = - 0.5 ตัวอย่างที่ 1) 2 a + 1 > 0 จะได้ 2 (- 0.5) + 1 > 0 0 > 0 ผิด ตัวอย่างที่ 2) |a| > 1 จะได้ |- 0.5| > 1 0.5 > 1 ผิด$

$ตัวอย่างที่ 3) 2^{a} > 1 จะได้ 2^{- 0.5} > 1 \frac{1}{\sqrt{2}} > 1 ผิด ตัวอย่างที่ 4) 1 < |a - 1| < 2 จะได้ 1 < |- 0.5 - 1| < 2 1 < |- 0.5 - 1| < 2 ถูก ตัวอย่างที่ 5) 2^{a + 1} < 1 จะได้ 2^{- 0.5 + 1} < 1 \sqrt{2} < 1 ผิด$