ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2562

ข้อ 17

กำหนดให้ $A = [\begin{matrix} 1 & 5 \\ 1 & 1 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} - 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}]$ และ $C$ เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ $2 \times 2$ ที่สอดคล้องกับ $CA = AB$ ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ $\det (C^{2} + xB) = - 20$ แล้วค่าของ $x^{2} + x + 1$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$3$
2
$7$
3
$13$
4
$21$
5
$31$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตรเมทริกซ์ A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}]$

$จากโจทย์ C A = A B (C A) A^{- 1} = (A B) A^{- 1} C I = (A B) A^{- 1} C = [\begin{matrix} 1 & 5 \\ 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} - 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}] \frac{1}{1 - 5} [\begin{matrix} 1 & - 5 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]$

$= \frac{1}{- 4} [\begin{matrix} - 2 & 10 \\ - 2 & 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & - 5 \\ - 1 & 1 \end{matrix}] = \frac{- 1}{2} [\begin{matrix} - 1 & 5 \\ - 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & - 5 \\ - 1 & 1 \end{matrix}] = \frac{- 1}{2} [\begin{matrix} - 6 & 10 \\ - 2 & 6 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 3 & - 5 \\ 1 & - 3 \end{matrix}]$

$จากโจทย์ d e t (C^{2} + x B) = - 20 \to 1 หาค่า C^{2} + x B = [\begin{matrix} 3 & - 5 \\ 1 & - 3 \end{matrix}] [\begin{matrix} 3 & - 5 \\ 1 & - 3 \end{matrix}] + x [\begin{matrix} - 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 2 x & 0 \\ 0 & 2 x \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 - 2 x & 0 \\ 0 & 4 + 2 x \end{matrix}]$

$d e t (C^{2} + x B) = (4 - 2 x) (4 + 2 x) - 0 (0) = 16 - 4 x^{2} จาก 1 d e t (C^{2} + x B) = - 20 16 - 4 x^{2} = - 20 4 x^{2} = 36 x = \pm 3$

$จากโจทย์ x เป็นจำนวนจริงบวก แสดงว่า x = 3 ดังนั้น x^{2} + x + 1 = 3^{2} + 3 + 1 = 13$

ข้อถัดไป