ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2562

ข้อ 4

เซตคำตอบของอสมการ $2^{2 x + 1} + 3^{2 x + 1} \leq 5 (6^{x})$ เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้

1
$(- \infty, - 3) \cup (3, \infty)$
2
$(- \infty, - 3) \cup (- 1, 3)$
3
$(- 5, - 1) \cup (0, 5)$
4
$(- 3, 0) \cup (1, \infty)$
5
$(- 2, 1) \cup (3, \infty)$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ 2^{2 x + 1} + 3^{2 x + 1} \leq 5 (6^{x}) 2^{2 x} \cdot 2^{1} + 3^{2 x} \cdot 3 - 5 {(3 \cdot 2)}^{x} \leq 0 2 \cdot 2^{2 x} + 3 \cdot 3^{2 x} - 5 (2^{x} \cdot 3^{x}) \leq 0 \to 1$

$กำหนดให้ 2^{x} = a \to 2^{2 x} = a^{2} 3^{x} = b \to 3^{2 x} = b^{2}$

$จาก 1 จะได้ 2 a^{2} + 3 b^{2} - 5 a b \leq 0 2 a^{2} - 5 a b + 3 b^{2} \leq 0 (2 a - 3 b) (a - b) \leq 0$

$จะได้ 2 a - 3 b = 0 หรือ a - b = 0 2 a = 3 b a = b 2 \cdot 2^{x} = 3 \cdot 3^{x} 2^{x} = 3^{x} \frac{2^{x}}{3^{x}} = \frac{3}{2} \frac{2^{x}}{3^{x}} = 1 {(\frac{2}{3})}^{x} = {(\frac{2}{3})}^{- 1} {(\frac{2}{3})}^{x} = {(\frac{2}{3})}^{0} x = - 1 x = 0$