ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

ข้อ 10

ให้วงกลม C มีสมการเป็น $x^{2} + y^{2} + a x - 6 y - 12 = 0$ เมื่อ $a > 0$ โดยระยะทางจากจุดศูนย์กลางของวงกลม C ไปยังเส้นตรง $4 x + 3 y = 71$ เท่ากับ $14$ หน่วย ถ้าพาราโบลารูปหนึ่ง มีโฟกัสอยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงกลม C และมี $y = 7$ เป็นไดเรกตริกซ์ แล้วสมการของพาราโบลารูปนี้ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$x^{2} - 4 x + 4 y - 16 = 0$
2
$x^{2} + 4 x + 4 y - 16 = 0$
3
$x^{2} + 4 x - 4 y + 20 = 0$
4
$x^{2} + 4 x + 8 y + 44 = 0$
5
$x^{2} + 4 x + 8 y - 36 = 0$

เฉลยข้อสอบ

$สูตร สมการวงกลม {(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2} เมื่อ จุดศูนย์กลาง = (h, k), รัศมี = r สูตร ระยะทางจากจุด (x_{1}, y_{1}) ไปยังเส้นตรง Ax + By + C = 0 คือ \frac{|{Ax}_{1} + {By}_{1} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \to 1 สูตร พาราโบลา {(x - h)}^{2} = 4 c (y - k) เมื่อ จุดยอด = (h, k) \to 2$

$จากโจทย์ วงกลม C มีสมการเป็น x^{2} + y^{2} + ax - 6 y - 12 = 0 จัดรูป (x^{2} + 2 (x) (\frac{a}{2}) + \frac{a^{2}}{4}) + (y^{2} - 2 (y) (3) + 3^{2}) = 12 + \frac{a^{2}}{4} + 3^{2} {(x + \frac{a}{2})}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 21 + \frac{a^{2}}{4} จะได้ วงกลมมีจุดศูนย์กลาง (h, k) = (- \frac{a}{2}, 3) จากโจทย์ ระยะทางจากจุดศูนย์กลางของวงกลม C ไปยังเส้นตรง 4 x + 3 y - 71 = 0 เท่ากับ 14 หน่วย$

$จาก 1 จะได้ \frac{|{Ax}_{1} + {By}_{1} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} = 14; A = 4, B = 3, C = - 71 \frac{|4 (- \frac{a}{2}) + 3 (3) - 71|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = 14 \frac{|- 2 a - 62|}{5} = 14 |2 a + 62| = 70$

$จะได้ 2 a + 62 = 70 หรือ 2 a + 62 = - 70 a = 4 a = - 66 จากโจทย์ a > 0 ดังนั้น a = 4 - วงกลมมีจุดศูนย์กลาง (h, k) = (- \frac{a}{2}, 3); แทนค่า a = 4 (h, k) = (- 2, 3)$

$จากโจทย์ พาราโบลารูปหนึ่ง มีโฟกัสอยู่ที่จุดศูนย์กลางของ วงกลม C และมี y = 7 เป็นไดเรกตริกซ์ แสดงว่า แกนสมมาตรของพาราโบลาขนานกับแกน y - ลองวาดรูปพาราโบลา และเส้นไดเรกตริกซ์$

$จะได้ (h, k) = (\frac{- 2 + (- 2)}{2}, \frac{3 + 7}{2}) = (- 2, 5) และ c = 5 - 7 c = - 2$

$จาก 2 {(x - h)}^{2} = 4 c (y - k); แทน (h, k), c จะได้ {(x + 2)}^{2} = 4 (- 2) (y - 5) x^{2} + 4 x + 4 = - 8 y + 40 x^{2} + 4 x + 8 y - 36 = 0 ดังนั้น สมการของพาราโบลา คือ x^{2} + 4 x + 8 y - 36 = 0$