ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

ข้อ 16

กำหนดให้ $\vec{A}$ และ $\vec{B}$ เป็นเวกเตอร์ในระนาบ โดยที่ $\vec{A} = 16 \bar{i} + a j$ และ $\vec{B} = 8 \bar{i} + b j$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง ถ้า $|\vec{A}| = |\vec{B}|$ และเวกเตอร์ $\vec{B}$ ทำมุม $60 °$ กับเวกเตอร์ $\vec{A}$ แล้วค่าของ ${(a + b)}^{2}$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$8$
2
$16$
3
$64$
4
$192$
5
$320$

เฉลยข้อสอบ

$สูตรเวกเตอร์ \overset{⇀}{u} = ai + bj จะได้ |\overset{⇀}{u}| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} ถ้า \overset{⇀}{u} = ai + bj และ \overset{⇀}{v} = ci + dj จะได้ \overset{⇀}{u} \cdot \overset{⇀}{v} = ac + bd \overset{⇀}{u} \cdot \overset{⇀}{v} = |\overset{⇀}{u}| |\overset{⇀}{v}| \cos θ ดังนั้น ac + bd = |\overset{⇀}{u}| |\overset{⇀}{v}| \cos θ \to a$

$จากโจทย์ \overset{⇀}{A} = 16 i + a j จะได้ |\overset{⇀}{A}| = \sqrt{{(16)}^{2} + a^{2}} = \sqrt{256 + a^{2}} \overset{⇀}{B} = 8 i + b j จะได้ |\overset{⇀}{B}| = \sqrt{8^{2} + b^{2}} = \sqrt{64 + b^{2}}$

$จากโจทย์ |\overset{⇀}{A}| = |\overset{⇀}{B}|; แทน |\overset{⇀}{A}|, |\overset{⇀}{B}| \sqrt{256 + a^{2}} = \sqrt{64 + b^{2}}; ยกกำลัง 2 ทั้ง 2 ข้าง 256 + a^{2} = 64 + b^{2} b^{2} = a^{2} + 192 \to 1$

$จากโจทย์ เวกเตอร์ \vec{B} ทำมุม 60 ° กับเวกเตอร์ \vec{A}; จาก a จะได้ \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos 60 °; จากโจทย์ |\vec{A}| = |\vec{B}| (16 i + a j) \cdot (8 i + b j) = (\sqrt{256 + a^{2}}) (\sqrt{256 + a^{2}}) (\frac{1}{2}) 16 (8) + ab = (256 + a^{2}) (\frac{1}{2}) 128 + ab = \frac{256 + a^{2}}{2} 256 + 2 ab = 256 + a^{2}$
$2 ab = a^{2} 2 ab - a^{2} = 0 (2 b - a) a = 0 จะได้ 2 b - a = 0 หรือ a = 0 a = 2 b ถ้า a = 2 b จาก 1 จะได้ b^{2} = a^{2} + 192; แทน a = 2 b b^{2} = {(2 b)}^{2} + 192$
$b^{2} = 4 b^{2} + 192 3 b^{2} = - 192 เป็นไปไม่ได้ เพราะ b^{2} \geq 0 ดังนั้น a \neq 2 b ถ้า a = 0 จาก 1 จะได้ b^{2} = a^{2} + 192; แทน a = 0$
$b^{2} = {(0)}^{2} + 192 b^{2} = 192 หาค่าของ {(a + b)}^{2}; แทนค่า a = 0 {(a + b)}^{2} = {(0 + b)}^{2} = b^{2}; แทนค่า b^{2} = 192$