ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

ข้อ 42

ให้ $A$ เป็นเซตของจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับอสมการ $\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}} < \sqrt{1 - x}$ ถ้า a เป็นขอบเขตบนน้อยสุดของเซต $A$ และ $b$ เป็นขอบเขตล่างมากสุดของเซต $A$ แล้วค่าของ $a^{2} + b^{2}$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ \frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}} < \sqrt{1 - x} \to @ กำหนดให้ A = \sqrt{1 + x} B = \sqrt{1 - x} A^{2} = 1 + x \to 1 B^{2} = 1 - x \to 2$

$นำ 1 - 2 จะได้ A^{2} - B^{2} = 2 x x = \frac{A^{2} - B^{2}}{2} จาก @ \frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}} < \sqrt{1 - x}; แทน A, B$

$จะได้ \frac{\sqrt{2} (\frac{A^{2} - B^{2}}{2})}{A + B} < B \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{A^{2} - B^{2}}{A + B}) < B; 2 = \sqrt{2} \times \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} (\sqrt{2})} (\frac{(A - B) (A + B)}{A + B}) < B \frac{(A - B)}{\sqrt{2}} < B A - B < \sqrt{2} B$

$A < \sqrt{2} B + B A < (\sqrt{2} + 1) B แทน A, B กลับคืน; \sqrt{1 + x} < (\sqrt{2} + 1) (\sqrt{1 - x}) ยกกำลัง 2 ทั้ง 2 ข้าง; 1 + x < (2 + 2 \sqrt{2} + 1) (1 - x) 1 + x < (3 + 2 \sqrt{2}) (1 - x) 1 + x < 3 - 3 x + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} x 4 x + 2 \sqrt{2} x < 2 + 2 \sqrt{2} 2 x + \sqrt{2} x < 1 + \sqrt{2}$

$(2 + \sqrt{2}) x < 1 + \sqrt{2} x < \frac{1 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}; นำมาเขียนเส้นจำนวน$

$จาก @ เงื่อนไข \sqrt{□} \to □ \geq 0 จะได้ 1 + x \geq 0 และ 1 - x \geq 0 x \geq - 1 1 \geq x x ⩽ 1$

$นำเส้นจำนวนทั้ง 3 มาเขียนรวมกัน$

$ดังนั้น - 1 \leq x < \frac{1 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} จากโจทย์ - a เป็นขอบเขตบนน้อยสุดของเซต A; x < \frac{1 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} จะได้ a = \frac{1 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} - b เป็นขอบเขตล่างมากสุดของเซต A; x \geq - 1 จะได้ b = - 1$

$หาค่าของ a^{2} + b^{2} = {(\frac{1 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}^{2} + {(- 1)}^{2} = (\frac{1 + 2 \sqrt{2} + 2}{4 + 4 \sqrt{2} + 2}) + 1 = \frac{(3 + 2 \sqrt{2})}{2 (3 + 2 \sqrt{2})} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = 1.5$