ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} (\mathrm{f}\circ \mathrm{g})\left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{{\mathrm{x}}^2+5} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}; \mathrm{ดิฟ} \mathrm{ทั้ง} 2 \mathrm{ข้าง} \\ \mathrm{จะได้} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left[(\mathrm{f}\circ \mathrm{g})\left(\mathrm{x}\right)\right]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left[\sqrt{{\mathrm{x}}^2+5} \right] \\ \mathbf{โดย} \sqrt{{\mathrm{x}}^2+5}={\left({\mathrm{x}}^2+5\right)}^{\frac{1}{2}}; \\ (\mathrm{f}\circ \mathrm{g})\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{2}{\left({\mathrm{x}}^2+5\right)}^{\frac{1}{2}-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left({\mathrm{x}}^2+5 \right) \\ \mathrm{f}\text{'}\left[\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]·\mathrm{g}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{2}{\left({\mathrm{x}}^2+5\right)}^{-\frac{1}{2}}\left(2\mathrm{x}\right) \\ \mathrm{f}\text{'}\left[\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]·\mathrm{g}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+5}}\to \boxed{1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{หา} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \mathrm{และ} \mathrm{g}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)} \\ \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \int \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}={\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+\mathrm{C} \\ \mathrm{ดิฟ} \mathrm{ทั้ง} 2 \mathrm{ข้าง} ; \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}[\int \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}[{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+\mathrm{C}] \\ \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{x}-4 \\ \mathrm{ดิฟ} \mathrm{ทั้ง} 2 \mathrm{ข้าง} ; \mathrm{g}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=2 \\ \mathrm{นำ} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \mathrm{และ} \mathrm{g}\text{'}\left(\mathrm{x}\right) \mathrm{มาแทนใน} \boxed{1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} \boxed{1} \mathrm{f}\text{'}\left[\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]·\mathrm{g}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+5}} \\ \mathrm{f}\text{'}\left[2\mathrm{x}-4\right]·2=\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+5}} \\ \mathrm{แทน} \mathrm{x}=2 \mathrm{เพื่อหา} \mathrm{f}\text{'}\left(0\right) \end{gathered}$$​
$$\begin{gathered} \mathrm{f}\text{'}\left[2\left(2\right)-4\right]·2=\frac{2}{\sqrt{2^2+5}} \\ \mathrm{f}\text{'}\left(0\right)·2=\frac{2}{3} \\ \mathrm{f}\text{'}\left(0\right)=\frac{1}{3} \\ {\mathrm{m}}_{\mathrm{f}\left(0\right)}=\frac{1}{3} \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{x}=0 \mathrm{เส้นโค้งมีความชันเท่ากับ} \frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \mathrm{L} \mathrm{เส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้ง} \mathrm{y}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \mathrm{ณ} \mathrm{x}=0 \\ \mathrm{จะได้} {\mathrm{m}}_{\mathrm{L}}={\mathrm{m}}_{\mathrm{f}\left(\mathrm{o}\right)} \left(\mathrm{สัมผัสกัน} \mathrm{ความชันเท่ากัน}\right) \\ {\mathrm{m}}_{\mathrm{L}}=\frac{1}{3} \end{gathered}$$​

$$\begin{gathered} \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{เส้นตรงที่จะตั้งฉากกับเส้นตรง} \mathrm{L} \mathrm{จะต้องมีความชัน}=-3 \\ \left(\mathrm{เส้นตรง} {\mathrm{L}}_1 \mathrm{ตั้งฉากกับเส้นตรง} {\mathrm{L}}_2 \mathrm{ก็ต่อเมื่อ} {\mathrm{m}}_1{\mathrm{m}}_2=-1\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{พิจารณาตัวเลือก}} \\ \mathrm{สมการเส้นตรง} \mathrm{Ax}+\mathrm{By}+\mathrm{c}=0 \mathrm{จะได้} \mathrm{ความชัน} \left(\mathrm{m}\right)=-\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}} \\ 1. \mathrm{x}+\mathrm{y}-3=0 ; \mathrm{m}=-\frac{1}{1}=-1 \mathrm{ผิด} \\ 2. 2\mathrm{x}+\mathrm{y}-7=0 ;\hspace{0.17em} \mathrm{m}=-\frac{2}{1}=-2 \mathrm{ผิด} \\ 3. 3\mathrm{x}+\mathrm{y}-5=0 ;\hspace{0.17em} \mathrm{m}=-\frac{3}{1}=-3 \mathrm{ถูก} \\ 4. 5\mathrm{x}+\mathrm{y}-2=0 ; \hspace{0.17em}\mathrm{m}=-\frac{5}{1}=-5 \mathrm{ผิด} \end{gathered}$$