ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

ข้อ 16

กำหนดให้ $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง โดยทั้ง $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ และสอดคล้องกับ $(f \circ g) (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$ สำหรับทุก $x$ ที่อยู่ในโดเมนของ $f \circ g$ และ $\int g (x) d x = x^{2} - 4 x + C$ เมื่อ $C$ เป็นค่าคงตัว ถ้า $L$ เป็นเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้ง $y = f (x)$ ณ $x = 0$ แล้วเส้นตรง $L$ ตั้งฉากกับเส้นตรงที่มีสมการตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$x + y - 3 = 0$
2
$2 x + y - 7 = 0$
3
$3 x + y - 5 = 0$
4
$5 x + y - 2 = 0$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ (f \circ g) (x) = \sqrt{x^{2} + 5}; ดิฟ ทั้ง 2 ข้าง จะได้ \frac{d}{dx} [(f \circ g) (x)] = \frac{d}{dx} [\sqrt{x^{2} + 5}] โดย \sqrt{x^{2} + 5} = {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}; (f \circ g)' (x) = \frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{dx} (x^{2} + 5) f' [g (x)] \cdot g' (x) = \frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) f' [g (x)] \cdot g' (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 5}} \to 1$

$หา g (x) และ g' (x) จากโจทย์ \int g (x) dx = x^{2} - 4 x + C ดิฟ ทั้ง 2 ข้าง; \frac{d}{dx} [\int g (x) dx] = \frac{d}{dx} [x^{2} - 4 x + C] g (x) = 2 x - 4 ดิฟ ทั้ง 2 ข้าง; g' (x) = 2 นำ g (x) และ g' (x) มาแทนใน 1$

$จาก 1 f' [g (x)] \cdot g' (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 5}} f' [2 x - 4] \cdot 2 = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 5}} แทน x = 2 เพื่อหา f' (0)$
$f' [2 (2) - 4] \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{2^{2} + 5}} f' (0) \cdot 2 = \frac{2}{3} f' (0) = \frac{1}{3} m_{f (0)} = \frac{1}{3} แสดงว่า x = 0 เส้นโค้งมีความชันเท่ากับ \frac{1}{3}$

$จากโจทย์ L เส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้ง y = f (x) ณ x = 0 จะได้ m_{L} = m_{f (o)} (สัมผัสกัน ความชันเท่ากัน) m_{L} = \frac{1}{3}$

$ดังนั้น เส้นตรงที่จะตั้งฉากกับเส้นตรง L จะต้องมีความชัน = - 3 (เส้นตรง L_{1} ตั้งฉากกับเส้นตรง L_{2} ก็ต่อเมื่อ m_{1} m_{2} = - 1)$

$พิจารณาตัวเลือก สมการเส้นตรง Ax + By + c = 0 จะได้ ความชัน (m) = - \frac{A}{B} 1 . x + y - 3 = 0; m = - \frac{1}{1} = - 1 ผิด 2 . 2 x + y - 7 = 0; m = - \frac{2}{1} = - 2 ผิด 3 . 3 x + y - 5 = 0; m = - \frac{3}{1} = - 3 ถูก 4 . 5 x + y - 2 = 0; m = - \frac{5}{1} = - 5 ผิด$

ข้อถัดไป