ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \hspace{0.17em} \mathrm{หาจำนวนวิธีสร้างจำนวนสามหลักลด} \\ \mathrm{ที่มีค่ามากกว่า} 500 \mathrm{มีจำนวนทั้งหมดเท่าใด} \\ \mathrm{จำนวนสามหลักลดที่มีค่ามากกว่า} 500 \\ = \mathrm{จำนวนสามหลักลดทั้งหมด} - \mathrm{จำนวนสามหลักลดที่ไม่เกิน} 500\to \boxed{1} \\ \left(\mathrm{น้อยกว่า} \mathrm{หรือ} \mathrm{เท่ากับ} 500\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{หาจำนวนสามหลักลดทั้งหมด}} \mathrm{เลือก} 3 \mathrm{ตัวจาก} 0,1,2,...,9 \left(10 \mathrm{ตัว}\right) \\ \mathrm{เอาตัวมากเป็นหลักร้อย} \mathrm{ตัวกลางเป็นหลักสิบ} \mathrm{ตัวน้อยหลักหน่วย} \\ \mathrm{จะได้} {\mathrm{C}}_{10,3}=\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)=\frac{10!}{7!3!}=\frac{10·9·8}{3·2}=120 \mathrm{วิธี} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{หาจำนวนสามหลักลดที่ไม่เกิน} 500} \mathrm{เลือก} 3 \mathrm{ตัวจาก} 0,1,2,3,4 \left(5 \mathrm{ตัว}\right) \\ \mathrm{เอาตัวมากเป็นหลักร้อย} \mathrm{ตัวกลางเป็นหลักสิบ} \mathrm{ตัวน้อยหลักหน่วย} \\ \mathrm{จะได้} {\mathrm{C}}_{5,3}=\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)=\frac{5!}{2!3!}=\frac{5·4}{2}=10 \mathrm{วิธี} \\ \mathrm{จาก} \boxed{1} \mathrm{จำนวนวิธีสร้างจำนวนสามหลักลด} \mathrm{ที่มีค่ามากกว่า} 500 \\ =120-10 \\ =110 \mathrm{วิธี} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathbf{วิธีที่}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ }\left(\mathbf{วิธีเต็ม}\right)} \\ \mathrm{จำนวนสามหลักลดที่มีค่ามากกว่า} 500 \mathrm{ทั้งหมด} 5 \mathrm{กรณี} \mathrm{คือ} \\ \underline{\mathbf{กรณีที่}\mathbf{ }\mathbf{1}} : \mathrm{หลักร้อยเป็นเลข} 5 \\ 1. \underline{5} \underline{4} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 4 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1,2,3\right) \\ 2. \underline{5} \underline{3} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 3 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1,2\right) \\ 3. \underline{5} \underline{2} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 2 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1\right) \\ 4. \underline{5} \underline{1} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 1 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0\right) \\ \mathrm{รวม} 10 \mathrm{วิธี} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathbf{กรณีที่}\mathbf{ }\mathbf{2}} : \mathrm{หลักร้อยเป็นเลข} 6 \\ 1. \underline{6} \underline{5} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 5 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1,2,3,4\right) \\ 2. \underline{6} \underline{4} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 4 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1,2,3\right) \\ 3. \underline{6} \underline{3} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 3 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1,2\right) \\ 4. \underline{6} \underline{2} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 2 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1\right) \\ 5. \underline{6} \underline{1} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 1 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0\right) \\ \mathrm{รวม} 15 \mathrm{วิธี} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathbf{กรณีที่}\mathbf{ }\mathbf{3}} : \mathrm{หลักร้อยเป็นเลข} 7 \\ 1. \underline{7} \underline{6} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 6 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1,2,3,4,5\right) \\ 2. \underline{7} \underline{5} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 5 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1,2,3,4\right) \\ 3. \underline{7} \underline{4} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 4 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1,2,3\right) \\ 4. \underline{7} \underline{3} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 3 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1,2\right) \\ 5. \underline{7} \underline{2} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 2 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1\right) \\ 6. \underline{7} \underline{1} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 1 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0\right) \\ \mathrm{รวม} 21 \mathrm{วิธี} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathbf{กรณีที่}\mathbf{ }\mathbf{4}} : \mathrm{หลักร้อยเป็นเลข} 8 \\ 1. \underline{8} \underline{7} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 7 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1,2,3,4,5,6\right) \\ 2. \underline{8} 6 ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 6 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1,2,3,4,5\right) \\ 3. \underline{8} \underline{5} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 5 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1,2,3,4\right) \\ 4. \underline{8} \underline{4} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 4 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1,2,3\right) \\ 5. \underline{8} \underline{3} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 3 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1,2\right) \\ 6. \underline{8} \underline{2} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 2 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1\right) \\ 7. \underline{8} \underline{1} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 1 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0\right) \\ \mathrm{รวม} 28 \mathrm{วิธี} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathbf{กรณีที่}\mathbf{ }\mathbf{5}} : \mathrm{หลักร้อยเป็นเลข} 9 \\ 1. \underline{9} \underline{8} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 8 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1,2,3,4,5,6,7\right) \\ 2. \underline{9} \underline{7} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 7 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1,2,3,4,5,6\right) \\ 3. \underline{9} 6 ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 6 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1,2,3,4,5\right) \\ 4. \underline{9} \underline{5} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 5 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1,2,3,4\right) \\ 5. \underline{9} \underline{4} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 4 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1,2,3\right) \\ 6. \underline{9} \underline{3} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 3 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1,2\right) \\ 7. \underline{9} \underline{2} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 2 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0,1\right) \\ 8. \underline{9} \underline{1} ? \mathrm{มีได้ทั้งหมด} 1 \mathrm{วิธี} \left(?=\mathrm{เลข} 0\right) \\ \mathrm{รวม} 36 \mathrm{วิธี} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{จำนวนสามหลักลดที่มีค่ามากกว่า} 500 \mathrm{ทั้งหมด} \\ =10+15+21+28+36 \\ =110 \mathrm{วิธี} \end{gathered}$$​