ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2556

$$\begin{gathered} \underline{ \mathrm{พิจารณา} \left(\mathrm{ก}\right)} \\ \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{เวกเตอร์} \overline{\mathrm{w}} \mathrm{ตั้งฉากกับเวกเตอร์} \overline{\mathrm{u}} \\ \overline{\mathrm{w}}=\mathrm{a}\overline{\mathrm{i}}=\mathrm{b}\overline{\mathrm{j}}+\mathrm{c}\overline{\mathrm{k}} , \overline{\mathrm{u}}=\overline{\mathrm{i}}+2\overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{k}} \\ \mathrm{จะได้} \overline{\mathrm{w}}·\overline{\mathrm{u}}=0 \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{a}\left(1\right)+\mathrm{b}\left(2\right)+\mathrm{c}\left(1\right)=0 \\ \mathrm{a}+2\mathrm{b}+\mathrm{c}=0\to \boxed{1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} \mathrm{เวกเตอร์} \overline{\mathrm{w}} \mathrm{ตั้งฉากกับเวกเตอร์} \overline{\mathrm{u}} \mathrm{และ} \overline{\mathrm{v}} \\ \mathrm{จะได้} \overline{\mathrm{w}}·\overline{\mathrm{v}}=0 \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{a}\left(1\right)+\mathrm{b}\left(-1\right)+\mathrm{c}\left(1\right)=0 \\ \mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{c}=0\to \boxed{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{นำ} \boxed{1}-\boxed{2} 3\mathrm{b}=0 \\ \mathrm{b}=0 ; \mathrm{แทนใน} \boxed{2} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{a}-0+\mathrm{c}=0 \\ \mathrm{a}+\mathrm{c}=0 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0 \mathrm{ข้อ} \left(\mathrm{ก}\right) \mathrm{ผิด} \\ \underline{\mathrm{พิจารณา} \left(\mathrm{ข}\right)} \\ \mathrm{จากโจทย์} \overline{\mathrm{u}}=2\overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{j}} \\ \mathrm{จะได้} \left|\overline{\mathrm{u}}\right|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสูตร} \cos \mathrm{\theta }=\frac{\overline{\mathrm{u}}·\overline{\mathrm{v}}}{\left|\overline{\mathrm{u}}\right|\left|\overline{\mathrm{v}}\right|} ; \mathrm{โดย} \left|\overline{\mathrm{v}}\right|=\frac{3}{\sqrt{5}} \\ \mathrm{จะได้} \cos \mathrm{\theta }=\frac{\bcancel{3}}{\left(\cancel{\sqrt{5}}\right)\left({\displaystyle \frac{\bcancel{3}}{\cancel{\sqrt{5}}}}\right)} \\ \cos \mathrm{\theta }=1 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{\theta }=0° \mathrm{ข้อ} \left(\mathrm{ข}\right) \mathrm{ผิด} \end{gathered}$$