ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2556

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{อำเภอ} 6 \mathrm{อำเภอ} \mathrm{แต่ละอำเภอส่งผู้แทนอำเภอละ} 2 \mathrm{คน} \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{เป็นชาย} 1 \mathrm{คน} \mathrm{และเป็นหญิง} 1 \mathrm{คน} \\ \mathrm{กำหนดให้} \mathrm{ชาย}=\mathrm{x} , \mathrm{หญิง} =\mathrm{y} \\ \mathrm{จะได้} {\mathrm{x}}_1{\mathrm{y}}_1 , {\mathrm{x}}_2{\mathrm{y}}_2 , {\mathrm{x}}_3{\mathrm{y}}_3 , {\mathrm{x}}_4{\mathrm{y}}_4 , {\mathrm{x}}_5{\mathrm{y}}_5 , {\mathrm{x}}_6{\mathrm{y}}_6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \hspace{0.17em}\mathrm{คัดเลือกกรรมการ} 4 \mathrm{คน} \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{เป็นชาย} 2 \mathrm{คน} \mathrm{และหญิง} 2 \mathrm{คน} \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{กรรมการต้องเป็นชายและหญิงอย่างน้อย} 1 \mathrm{คู่} \\ =\mathrm{วิธีทั้งหมด}-\mathrm{วิธีที่ไม่มีคู่ใดมาจากอำเภอเดียวกัน}\to \boxed{1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{หาวิธีทั้งหมด}} \\ \mathrm{โดยเลือกชาย} 2 \mathrm{คน} \mathrm{จากชาย} 6 \mathrm{คน} =\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right) \\ \mathrm{เลือกหญิง} 2 \mathrm{คน} \mathrm{จากหญิง} 6 \mathrm{คน} =\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right) \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{จำนวนแบบทั้งหมด} =\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right) ; \mathrm{แทนใน} \boxed{1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{หาวิธีที่ไม่มีคู่ใดมาจากอำเภอเดียวกัน}} \\ \mathrm{โดยเลือกชาย} 2 \mathrm{คน} \mathrm{จากชาย} 6 \mathrm{คน} =\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right) \\ \mathrm{เลือกหญิง} 2 \mathrm{คน} \mathrm{ที่ไม่ได้อยู่อำเภอเดียวกันกับชายในตอนแรก} =\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right) \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{จำนวนแบบที่ไม่คู่ใดมาจากอำเภอเดียว} =\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right) ; \mathrm{แทนใน} \boxed{1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} \boxed{1} \mathrm{กรรมการต้องเป็นชายและหญิงอย่างน้อย} 1 \mathrm{คู่} \\ =\mathrm{วิธีทั้งหมด} - \mathrm{วิธีที่ไม่มีคู่ใดมาจากอำเภอเดียวกัน} \\ =\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)\left[\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\right] \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\frac{6!}{4!2!}\left[\frac{6!}{4!2!}-\frac{4!}{2!2!}\right] \\ =\frac{6\times 5}{2}\left[\left(\frac{6\times 5}{2}\right)-\left(\frac{4\times 3}{2}\right)\right] \\ =15(15-6) \\ =135 \end{gathered}$$