ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2564

$$\begin{gathered} \hspace{0.17em}\mathrm{พิจารณาข้อความ} \\ ก) \mathrm{กำหนดให้} P\left(x\right) \mathrm{แทน} x \mathrm{เขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำ} \\ Q\left(x\right) \mathrm{แทน} x \mathrm{เป็นจำนวนอตรรกยะ} \\ \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{ข้อความข้างต้น} \mathrm{จะได้} \forall x\left[P\left(x\right)\to Q\left(x\right)\right] \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{นิเสธของข้อความข้างต้น} \mathrm{คือ} \\ \equiv ~\forall x\left[P\left(x\right)\to Q\left(x\right)\right] \\ \equiv ~\forall x\left[~P\left(x\right)\vee Q\left(x\right)\right] \\ \equiv \exists x\left[P\left(x\right)\wedge ~Q\left(x\right)\right] \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{แสดงว่า} "\mathrm{มีจำนวนจริง} x \mathrm{ที่} x \hspace{0.17em}\mathrm{เขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำ} \\ \mathrm{และ} x \mathrm{ไม่เป็นจำนวนอตรรกยะ}" \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ช้อความ} ก) \mathrm{ผิด} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} ข) \mathrm{จากโจทย์} \left[\left(~p\to ~r\right)\wedge \left(~r\to q\right)\right]\to \left(p\vee q\right) \mathrm{เป็นสัจนิรันดร์} \\ -\mathrm{โดยสัจนิรันดร์} \mathrm{ต้องกำหนดให้ประพจน์เป็นเท็จ} \\ \mathrm{ถ้าประพจน์ใดประพจน์หนึ่งขัดแย้ง} \mathrm{แสดงว่าเป็นสัจนิรันดร์} \\ \mathrm{กำหนดให้} \left[\left(~p\to ~r\right)\wedge \left(~r\to q\right)\right]\to \left(p\vee q\right) \equiv F \mathrm{โดย} T\to F\equiv F \\ \mathrm{จะได้} \left[\left(~p\to ~r\right)\wedge \left(~r\to q\right)\right] \equiv T \mathrm{และ} p\vee q \equiv F \\ \mathrm{โดย} T \wedge T \equiv T \mathrm{และ} F\vee F \equiv F \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} ~p\to ~r \equiv T \mathrm{และ} ~r\to q \equiv T \mathrm{และ} p \equiv F \mathrm{และ} q \equiv F \\ p\equiv F, q\equiv F ~F\to ~r \equiv T ~r\to F \equiv T \\ T\to ~r \equiv T ~r \equiv F \\ ~r \equiv T r \equiv T \\ r \equiv F \mathrm{ขัดแย้งกัน} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ข้อความ} ข) \mathrm{ถูก} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} ค) \mathrm{จากโจทย์} \forall x\left[\sqrt{x^2}\ge x\right]\to \exists x\left[\sqrt{x^2}\le x\right] \mathrm{มีค่าความจริงเป็นจริง} \\ \mathrm{จะได้} \forall x\left[\sqrt{x^2}\ge x\right]\to \exists x\left[\sqrt{x^2}\le x\right] \equiv T \to \overline{)1} \\ \mathrm{โดย} \sqrt{x^2} = \left|x\right| \\ \mathrm{แสดงว่า} \sqrt{x^2} \ge x \to \left|x\right| \ge x (\mathrm{ทุกจำนวนของ} x) \\ \sqrt{x^2} \le x \to \left|x\right| \le x (x=0 \mathrm{ทำให้อสมการเป็นจริง}) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} \forall x\left[\sqrt{x^2} \ge x\right] \equiv T \\ \exists x\left[\sqrt{x^2} \le x\right] \equiv T \\ \mathrm{จาก} \overline{)1} \forall x\left[\sqrt{x^2}\ge x\right]\to \exists x\left[\sqrt{x^2}\le x\right] \equiv T \\ T \to T \equiv T \\ T \equiv T \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ข้อความ} ค) \mathrm{ถูก} \end{gathered}$$