ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2564

ข้อ 12

กำหนดให้ $ℝ$ แทนเซตของจำนวนจริง

$p$ แทนประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง

และ $q$ แทนประพจน์ "ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเรนจ์ของความสัมพันธ์ $\{(x, y) \in ℝ \times ℝ x^{2} + {(y^{2} - 9)}^{2} = 0\}$ เท่ากับ $3$ "

ประพจน์ในข้อใดมีค่าความจริงเป็นเท็จ

1
$(p \leftrightarrow q) \lor ~ (p \land q)$
2
$(q \leftrightarrow ~ p) \land (q \to p)$
3
$(p \to q) \leftrightarrow (q \lor q)$
4
$(p \to q) \to (q \to ~ p)$
5
$(q \to ~ p) \to (p \to q)$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ \{(x, y) \in ℝ \times ℝ x^{2} + {(y^{2} - 9)}^{2} = 0\} x^{2} + {(y^{2} - 9)}^{2} = 0 จะได้ x^{2} = 0 และ y^{2} - 9 = 0 x = 0 \cap (y - 3) (y + 3) = 0 y = - 3, 3 แสดงว่า \{(x, y) \in ℝ \times ℝ x^{2} + {(y^{2} - 9)}^{2} = 0\} = \{(0, - 3), (0, 3)\}$

$จากโจทย์ q แทนประพจน์ " ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเรนจ์ของความสัมพันธ ์ " จะได้ ผลบวกของเรนจ์ = - 3 + 3 = 0 ดังนั้น q มีค่าความจริงเป็นเท็จ \to q \equiv F จากโจทย์ p แทนประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง จะได้ p \equiv T$

$พิจารณาตัวเลือก 1) (p \leftrightarrow q) \lor ~ (p \land q) \equiv (T \leftrightarrow F) \lor ~ (T \land F) \equiv F \lor ~ F \equiv F \lor T \equiv T$

$2) (q \leftrightarrow ~ p) \land (q \leftrightarrow p) \equiv (F \leftrightarrow ~ T) \land (F \to T) \equiv (F \leftrightarrow F) \land T \equiv T \land T \equiv T$

$3) (p \to q) \leftrightarrow (q \lor q) \equiv (T \to F) \leftrightarrow (F \lor F) \equiv F \leftrightarrow F \equiv T 4) (p \to q) \to (q \to ~ p) \equiv (T \to F) \to (F \to ~ T) \equiv F \to (F \to F) \equiv F \to T \equiv T$