ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2564

ข้อ 11

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) นิเสธของข้อความ "สำหรับจำนวนจริง $x$ ทุกจำนวน ถ้า $x$ เขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำแล้ว $x$ เป็นจำนวนอตรรกยะ" คือ "มีจำนวนจริง $x$ ที่ $x$ เขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำและ $x$ เป็นจำนวนอตรรกยะ"

(ข) กำหนดให้ $p, q$ และ $r$ เป็นประพจน์ $[(~ p \to ~ r) \land (~ r \to q)] \to (p \lor q)$ เป็นสัจนิรันดร์

(ค) กำหนดเอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนจริง $\forall x [\sqrt{x^{2}} \geq x] \to \exists x [\sqrt{x^{2}} \leq x]$ มีค่าความจริงเป็นจริง

จากข้อความ (ก) (ข) และ (ค) ข้างต้นข้อใดถูกต้อง

1
ข้อความ (ก) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น
2
ข้อความ (ข) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น
3
ข้อความ (ก) และ (ข) ถูกต้องเท่านั้น
4
ข้อความ (ข) และ (ค) ถูกต้องเท่านั้น
5
ข้อความ (ก) (ข) และ (ค) ถูกต้อง

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$พิจารณาข้อความ ก) กำหนดให้ P (x) แทน x เขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำ Q (x) แทน x เป็นจำนวนอตรรกยะ จากโจทย์ ข้อความข้างต้น จะได้ \forall x [P (x) \to Q (x)] จะได้ นิเสธของข้อความข้างต้น คือ \equiv ~ \forall x [P (x) \to Q (x)] \equiv ~ \forall x [~ P (x) \lor Q (x)] \equiv \exists x [P (x) \land ~ Q (x)]$

$แสดงว่า " มีจำนวนจริง x ที่ x เขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำ และ x ไม่เป็นจำนวนอตรรกยะ " ดังนั้น ช้อความ ก) ผิด$

$ข) จากโจทย์ [(~ p \to ~ r) \land (~ r \to q)] \to (p \lor q) เป็นสัจนิรันดร์ - โดยสัจนิรันดร์ ต้องกำหนดให้ประพจน์เป็นเท็จ ถ้าประพจน์ใดประพจน์หนึ่งขัดแย้ง แสดงว่าเป็นสัจนิรันดร์ กำหนดให้ [(~ p \to ~ r) \land (~ r \to q)] \to (p \lor q) \equiv F โดย T \to F \equiv F จะได้ [(~ p \to ~ r) \land (~ r \to q)] \equiv T และ p \lor q \equiv F โดย T \land T \equiv T และ F \lor F \equiv F$

$จะได้ ~ p \to ~ r \equiv T และ ~ r \to q \equiv T และ p \equiv F และ q \equiv F p \equiv F, q \equiv F ~ F \to ~ r \equiv T ~ r \to F \equiv T T \to ~ r \equiv T ~ r \equiv F ~ r \equiv T r \equiv T r \equiv F ขัดแย้งกัน ดังนั้น ข้อความ ข) ถูก$

$ค) จากโจทย์ \forall x [\sqrt{x^{2}} \geq x] \to \exists x [\sqrt{x^{2}} \leq x] มีค่าความจริงเป็นจริง จะได้ \forall x [\sqrt{x^{2}} \geq x] \to \exists x [\sqrt{x^{2}} \leq x] \equiv T \to 1 โดย \sqrt{x^{2}} = |x| แสดงว่า \sqrt{x^{2}} \geq x \to |x| \geq x (ทุกจำนวนของ x) \sqrt{x^{2}} \leq x \to |x| \leq x (x = 0 ทำให้อสมการเป็นจริง)$

$จะได้ \forall x [\sqrt{x^{2}} \geq x] \equiv T \exists x [\sqrt{x^{2}} \leq x] \equiv T จาก 1 \forall x [\sqrt{x^{2}} \geq x] \to \exists x [\sqrt{x^{2}} \leq x] \equiv T T \to T \equiv T T \equiv T ดังนั้น ข้อความ ค) ถูก$

ข้อถัดไป