ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

ข้อ 14

กำหนดให้ $a$ $, b$ และ $c$ เป็นเวกเตอร์ ซึ่ง $\bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = \bar{0}$ $, |a + b| = 5, |b + c| = 3$ และ $|b| = \sqrt{10}$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) ถ้าเวกเตอร์ $a$ ทำมุม $θ$ กับเวกเตอร์ $b$ เมื่อ $0 \leq θ \leq π$ แล้ว $\tan θ = 3$

(ข) $a \cdot c = - 12$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
(ก) ถูก และ (ข) ถูก
2
(ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3
(ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4
(ก) ผิด และ (ข) ผิด

เฉลยข้อสอบ

$นิยาม |\bar{u}| = |- \bar{u}| \bar{u} \cdot \bar{u} = {|\bar{u}|}^{2} จากโจทย์ \bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = \bar{0} จะได้ \bar{a} + \bar{b} = - \bar{c} |\bar{a} + \bar{b}| = |- \bar{c}|; โดย |\bar{a} + \bar{b}| = 5 5 = |\bar{c}|$

$จากโจทย์ \bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = \bar{0} จะได้ \bar{b} + \bar{c} = - \bar{a} |\bar{b} + \bar{c}| = |- \bar{a}|; โดย |\bar{b} + \bar{c}| = 3 3 = |\bar{a}|$

$จากโจทย์ \bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = \bar{0} จะได้ \bar{a} + \bar{c} = - \bar{b} |\bar{a} + \bar{c}| = |- \bar{b}|; โดย |\bar{b}| = \sqrt{10} |\bar{a} + c| = \sqrt{10} พิจารณา (ก) จากโจทย์ เวกเตอร์ \bar{a} ทำมุม θ กับเวกเตอร์ \bar{b} เมื่อ 0 \leq θ \leq π จะได้ (\bar{a} + \bar{b}) \cdot (\bar{a} + \bar{b}) = \bar{a} \cdot \bar{a} + 2 \bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{b}$

${|\bar{a} + \bar{b}|}^{2} = {|\bar{a}|}^{2} + 2 \bar{a} \bar{b} + {|\bar{b}|}^{2} 5^{2} = 3^{2} + 2 \bar{a} \bar{b} + {(\sqrt{10})}^{2} 25 = 19 + 2 \bar{a} \bar{b} \bar{a} \bar{b} = \frac{6}{2} \bar{a} \bar{b} = 3$

$จากสูตร \bar{a} \bar{b} = |\bar{a}| |\bar{b}| \cos θ \cos θ = \frac{\bar{a} \bar{b}}{|\bar{a}| |\bar{b}|} = \frac{3}{(3) (\sqrt{10})} = \frac{1}{\sqrt{10}}$

$จะได้ \tan θ = 3 ดังนั้น ข้อ (ก) ถูก$

$พิจารณา (ข) จากโจทย์ \bar{a} \cdot \bar{c} = - 12 โดย (\bar{a} + \bar{c}) \cdot (\bar{a} + \bar{c}) = \bar{a} \cdot \bar{a} + 2 \bar{a} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{c} จะได้ {|\bar{a} + \bar{c}|}^{2} = {|\bar{a}|}^{2} + 2 \bar{a} \cdot \bar{c} + {|\bar{c}|}^{2} {(\sqrt{10})}^{2} = 3^{2} + 2 \bar{a} \cdot \bar{c} + 5^{2} 10 = 9 + 25 + 2 \bar{a} \cdot \bar{c} - 24 = 2 \bar{a} \cdot \bar{c} \bar{a} \cdot \bar{c} = - 12 ดังนั้น ข้อ (ข) ถูก$