ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

ข้อ 3

กำหนดให้ $p, q, r, s$ และ $t$ เป็นประพจน์ ซึ่ง
$p \to (q \land r)$ มีค่าความจริงเป็น เท็จ
$p \leftrightarrow (s \lor t)$ มีค่าความจริงเป็น จริง

ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็น จริง

1
$(q \land s) \to (p \land q)$
2
$(s \land t) \to ~ q$
3
$(q \lor s) \leftrightarrow p$
4
$(p \to r) \to s$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ p \to (q \land r) มีค่าความจริงเป็น เท็จ โดย T \to F \equiv F จะได้ p \equiv T, q \land r \equiv F \to 1$

$จากโจทย์ p \leftrightarrow (s \lor t) มีค่าความจริงเป็น จริง โดย T \leftrightarrow T \equiv T, F \leftrightarrow F \equiv T เนื่องจาก p \equiv T จะได้ s \lor t \equiv T \to 2 พิจารณาตัวเลือก 1 . (q \land s) \to (p \land q) \equiv (q \land s) \to (T \land q) \equiv (q \land s) \to q \equiv ~ (q \land s) \lor q$
$\equiv ~ q \lor ~ s \lor q; โดย ~ q \lor q \equiv T \equiv T \lor ~ s \equiv T$

$พิจารณาตัวเลือก 2 . (s \land t) \to ~ q สมมติให้ประพจน์นี้เป็นเท็จ จะได้ s \land t \equiv T, ~ q \equiv F s \equiv T, t \equiv T, q = T ซึ่ง s, t, q สามารถมีค่าความจริงตามเงื่อนไข 1, 2 ได้ ดังนั้น (s \land t) \to ~ q มีค่าความจริงเป็นเท็จได้$

$พิจารณาตัวเลือก 3 . (q \lor s) \leftrightarrow p \equiv (q \lor s) \leftrightarrow T \equiv q \lor s สมมติให้ประพจน์เป็นเท็จ จะได้ q \lor s \leftrightarrow F หมายความว่า q \equiv F, s \equiv F ซึ่ง q, s สามารถมีค่าความจริงตามเงื่อนไข 1, 2 ได้ ดังนั้น (q \lor s) \leftrightarrow p มีค่าความจริงเป็นเท็จได้$

$พิจารณาตัวเลือก 4 . (p \to r) \to s \equiv (T \to r) \to s = r \to s สมมติให้ประพจน์นี้เป็นเท็จ จะได้ r \to s \equiv F หมายความว่า r \equiv T, s \equiv F ซึ่ง r, s สามารถมีค่าความจริงตามเงื่อนไข 1, 2 ได้ ดังนั้น (p \to r) \to s มีค่าความจริงเป็นเท็จได้$