ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{ข้อมูลชุดที่} 1 \mathrm{ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ} 6 \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ} 2 \\ \mathrm{จะได้ว่า} \overline{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}}=6 , \mathrm{S}.\mathrm{D}{.}_{\mathrm{x}}=2 \\ \mathrm{จากโจทย์} {\mathrm{y}}_{\mathrm{i}}={\mathrm{ax}}_{\mathrm{i}}+\mathrm{b} \mathrm{เมื่อ} \mathrm{i}=1,2,3,...,\mathrm{n} \\ \mathrm{จะได้} \overline{{\mathrm{y}}_{\mathrm{i}}}=\mathrm{a}\overline{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}}+\mathrm{b} \\ \overline{{\mathrm{y}}_{\mathrm{i}}}=6\mathrm{a}+\mathrm{b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{กำหนดให้} \\ -\overline{x_{\mathrm{รวม}}} \mathrm{คือ} \mathrm{ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลทั้ง} 2 \mathrm{ชุดรวมกัน} \\ -S.\mathrm{D}{.}_{\mathrm{รวม}} \mathrm{คือ} \mathrm{ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลทั้ง} 2 \mathrm{ชุดรวมกัน} \\ - {\mathrm{N}}_{\mathrm{x}}={\mathrm{N}}_{\mathrm{y}}=\mathrm{n} \end{gathered}$$​

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{ข้อมูลทั้งสองชุดมารวมกัน} {\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2,...,{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}},{\mathrm{y}}_1,{\mathrm{y}}_2,...,{\mathrm{y}}_{\mathrm{n}} \\ \mathrm{พบว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ} 7 \\ \mathrm{จะได้} \overline{{\mathrm{x}}_{\mathrm{รวม}}}=7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสูตร} \overline{{\mathrm{x}}_{\mathrm{รวม}}}=\frac{{\mathrm{N}}_{\mathrm{x}}\overline{\mathrm{x}}+{\mathrm{N}}_{\mathrm{y}}\overline{\mathrm{y}}}{{\mathrm{N}}_{\mathrm{x}}+{\mathrm{N}}_{\mathrm{y}}} \\ 7=\frac{\mathrm{n}\left(6\right)+\mathrm{n}\left(6\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)}{\mathrm{n}+\mathrm{n}} \\ 7=\frac{\mathrm{n}\left(6\right)+\mathrm{n}\left(6\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)}{2\mathrm{n}} \\ 7=\frac{6+6\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2} \\ 14=6+6\mathrm{a}+\mathrm{b} \\ 6\mathrm{a}+\mathrm{b}=8\to \boxed{1} ; \mathrm{โดย} \overline{{\mathrm{y}}_{\mathrm{i}}}=6\mathrm{a}+\mathrm{b} \\ \mathrm{แสดงว่า} \overline{ {\mathrm{y}}_{\mathrm{i}}}=8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{สมบัติของ}\mathbf{ }\mathbf{S}\mathbf{.}\mathbf{D}\mathbf{.} \mathrm{S}.\mathrm{D}{.}_{\mathrm{y}}=\left|\mathrm{a}\right|\mathrm{S}.\mathrm{D}{.}_{\mathrm{x}} ; \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em}\mathrm{a}>0 \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em} \mathrm{S}.\mathrm{D}{.}_{\mathrm{y}}=\mathrm{a}\left(2\right) \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em} \mathrm{S}.\mathrm{D}{.}_{\mathrm{y}}=2\mathrm{a} \\ \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{ข้อมูลทั้งสองชุดมารวมกัน} {\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2,...,{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}},{\mathrm{y}}_1,{\mathrm{y}}_2,...,{\mathrm{y}}_{\mathrm{n}} \\ \mathrm{ความแปรปรวนเท่ากับ} 21 \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{S}.\mathrm{D}{.}_{\mathrm{รวม}}^2=21 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสูตร} \mathrm{ถ้า} {\mathrm{x}}_1\ne {\mathrm{x}}_2 \mathrm{จะได้} \\ S.\mathrm{D}{.}_{\mathrm{รวม}}^2=\frac{{\mathrm{N}}_1\left[\mathrm{S}.\mathrm{D}{.}_1^2+{\left(\overline{{\mathrm{x}}_1}-\overline{{\mathrm{x}}_{\mathrm{รวม}}}\right)}^2\right]+{\mathrm{N}}_2\left[\mathrm{S}.\mathrm{D}{.}_2^2+{\left(\overline{{\mathrm{x}}_2}-\overline{{\mathrm{x}}_{\mathrm{รวม}}}\right)}^2\right]}{{\mathrm{N}}_1+{\mathrm{N}}_2} \\ \mathrm{S}.\mathrm{D}{.}_{\mathrm{รวม}}^2=\frac{{\mathrm{N}}_{\mathrm{x}}\left[\mathrm{S}.\mathrm{D}{.}_{\mathrm{x}}^2+{\left(\overline{\mathrm{x}}-\overline{{\mathrm{x}}_{\mathrm{รวม}}}\right)}^2\right]+{\mathrm{N}}_{\mathrm{y}}\left[\mathrm{S}.\mathrm{D}{.}_{\mathrm{y}}^2+{\left(\overline{\mathrm{y}}-\overline{{\mathrm{x}}_{\mathrm{รวม}}}\right)}^2\right]}{{\mathrm{N}}_{\mathrm{x}}+{\mathrm{N}}_{\mathrm{y}}} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 21=\frac{\mathrm{n}\left[2^2+{\left(6-7\right)}^2\right]+\mathrm{n}\left[{\left(2\mathrm{a}\right)}^2+{\left(8-7\right)}^2\right]}{\mathrm{n}+\mathrm{n}} \\ 21=\frac{5+4{\mathrm{a}}^2+1}{2} \\ 4{\mathrm{a}}^2+6=42 \\ {\mathrm{a}}^2=9 \\ \mathrm{a}=3 ; \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{a}>0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{แทน} \mathrm{a}=3 \mathrm{ลงใน} \boxed{1} \\ \mathrm{จะได้} 6\left(3\right)+\mathrm{b}=8 \\ \mathrm{b}=-10 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ค่าของ} {\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2=3^2+{\left(-10\right)}^2 \\ =109 \end{gathered}$$