ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2559

ข้อ 28

กำหนดให้ $a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{59}$ เป็นลำดับของจำนวนจริง โดยที่ $a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2} = . . . = a_{i + 1} - a_{i} = . . . = a_{59} - a_{58}$

ให้ $b_{1} = a_{1}$ และ $b_{n} = b_{n - 1} + a_{n - 1}$ สำหรับ $n = 2, 3, 4, . . ., 60$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $b_{4} = 3 a_{1} + a_{4}$

(ข) $b_{1} + b_{2} + b_{3} = 5 a_{1} + a_{2}$

(ค) $b_{60} = a_{1} + 59 a_{30}$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ ข้อ (ค) ผิด
2
ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผิด
3
ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ก) ผิด
4
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2} = . . . = a_{i + 1} - a_{i} = . . . = a_{59} - a_{58} เนื่องจาก ลำดับมีผลต่างร่วม = d แสดงว่า a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{59} เป็นลำดับเลขคณิต จะได้ a_{n} = a_{1} + (n - 1) d; d เป็นผลต่างร่วม$

$จากโจทย์ b_{1} = a_{1} และ b_{n} = b_{n - 1} + a_{n - 1} สำหรับ n = 2, 3, 4, . . ., 60 แทน n = 2 จะได้ b_{2} = b_{1} + a_{1} = a_{1} + a_{1} แทน n = 3 จะได้ b_{3} = b_{2} + a_{2} = (a_{1} + a_{1}) + a_{2} แทน n = 4 จะได้ b_{4} = b_{3} + a_{3} = (a_{1} + a_{1} + a_{2}) + a_{3}$
$⋮ ⋮ ดังนั้น b_{n} = a_{1} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{n - 1} = a_{1} + (a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{n - 1}) = a_{1} + \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i}$

$พิจารณาข้อความ (ก) b_{4} = b_{3} + a_{3} = a_{1} + a_{1} + a_{2} + a_{3} = a_{1} + a_{1} + (a_{1} + d) + (a_{4} - d) = 3 a_{1} + a_{4} ข้อ (ก) ถูก (ข) b_{1} + b_{2} + b_{3} = a_{1} + (a_{1} + a_{1}) + (a_{1} + a_{1} + a_{2}) = 5 a_{1} + a_{2} ข้อ (ข) ถูก$

$(ค) b_{60} = a_{1} + (a_{1} + a_{2} + . . . + a_{58} + a_{59}) = a_{1} + ((a_{30} - 29 d) + (a_{30} - 28 d) + . . . + (a_{30} + 28 d) + (a_{30} + 29 d)) = a_{1} + \underset{59 ตัว}{\underset{⏟}{a_{30} + a_{30} + + a_{30} + a_{30}}} = a_{1} + 59 a_{30}$