ข้อสอบ PAT1 - มีนาคม 60 | ความถนัดทางคณิตศาสตร์

ข้อ 15

กำหนดให้ $A$ และ $B$ เป็น $n \times n$ เมทริกซ์ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $d e t (A B - B A) = 0$

(ข) ถ้า $d e t (A) \neq 0$ และ $d e t (B) = 0$ แล้ว $d e t (A + B) \neq 0$

(ค) ถ้า $d e t (A) \neq 0, d e t (B) \neq 0$ และเมทริกซ์ $A + B$ มีอินเวอร์สการคูณ แล้ว ${(A + B)}^{- 1} = B^{- 1} + A^{- 1}$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
ข้อ (ก) ถูกเพียงข้อเดียว
2
ข้อ (ข) ถูกเพียงข้อเดียว
3
ข้อ (ค) ถูกเพียงข้อเดียว
4
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ

เฉลยข้อสอบ

$(ก) จากโจทย์ d e t (A B - B A) = 0 - ไม่เป็นจริงเสมอไป เนื่องจาก A B \neq B A แต่ถ้า A B = B A จะได้ d e t (A B - B A) = d e t 0 = 0 ดังนั้น ข้อ (ก) ผิด$

$(ข) จากโจทย์ ถ้า d e t A \neq 0 และ d e t B = 0 แล้ว d e t (A + B) \neq 0 กำหนดให้ A = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \to d e t A = - 1 \neq 0 B = [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] \to d e t B = 0 จะได้ A + B = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}] d e t (A + B) = 0 ดังนั้น ข้อ (ข) ผิด$

$(ค) จากโจทย์ เมทริกซ์ A + B มีอินเวอร์สการคูณ แล้ว {(A + B)}^{- 1} = B^{- 1} + A^{- 1} - จากสมบัติอินเวอร์สการคูณ {(A \cdot B)}^{- 1} = B^{- 1} \cdot A^{- 1} ไม่มีสมบัติ {(A + B)}^{- 1} = B^{- 1} + A^{- 1} ดังนั้น ข้อ (ค) ผิด$