ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2560

ข้อ 14

กำหนดให้ข้อมูลชุดที่ $1$ คือ $x_{1}, x_{2}, x_{3}, . . ., x_{10}$ และข้อมูลชุดที่ $2$ คือ $y_{1}, y_{2}, y_{3}, . . ., y_{10}$ โดยที่ $x_{1}, x_{2}, x_{3}, . . ., x_{10}$ เป็นจำนวนจริงบวก และ $y_{i} = 2 x_{i} + 1$ สำหรับ $i = 1, 2, 3, . . ., 10$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลชุดที่ $2$ มีค่ามากกว่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลชุดที่ $1$

(ข) สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของข้อมูลชุดที่ $2$ มีค่าน้อยกว่าสัมประสิทธิ์ของกราแปรผันของข้อมูลชุดที่ $1$

(ค) ถ้าแต่ละ $x_{i}$ มีค่าเพิ่มขึ้น $1$ หน่วย แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดที่ $2$ มีค่าเพิ่มขึ้น

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ ข้อ (ค) ผิด
2
ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผิด
3
ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ก) ผิด
4
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ ข้อมูลชุดที่ 1 คือ x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{10} และ ข้อมูลชุดที่ 2 คือ y_{1}, y_{2}, y_{3}, \dots, y_{10} กำหนดให้ x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{10} = a จะได้ \bar{x} = \frac{\sum x}{N} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{10}}{10} \bar{x} = \frac{a + a + a + \dots + a}{10} = \frac{10 a}{10} \bar{x} = a$

$จากโจทย์ y_{i} = 2 x_{i} + 1 \to y_{1} = 2 a + 1, y_{2} = 2 a + 1, \dots, y_{10} = 2 a + 1 จะได้ \bar{y} = 2 \bar{x} + 1; \bar{x} = a ดังนั้น \bar{y} = 2 a + 1$

$พิจารณาข้อความ (ก) จากโจทย์ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลชุดที่ 2 มีค่ามากกว่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลชุดที่ 1 จะได้ M . D ._{x} = \sum_{i = 1}^{10} |x_{i} - \bar{x}| = (x_{1} - \bar{x}) + (x_{2} - \bar{x}) + \dots + (x_{10} - \bar{x}) = (a - a) + (a - a) + \dots + (a - a) = 0$

$จะได้ M . D ._{y} = \sum_{i = 1}^{10} |y_{i} - \bar{y}| = (y_{1} - \bar{y}) + (y_{2} - \bar{y}) + \dots + (y_{10} - \bar{y}) = [(2 a + 1) - (2 a + 1)] + [(2 a + 1) - (2 a + 1)] + \dots + [(2 a + 1) - (2 a + 1)] = 0 ดังนั้น M . D ._{x} = M . D ._{y} ข้อ (ก) ผิด$

$(ข) จากโจทย์ ส . ป . ส . ของการแปรผันของข้อมูลชุดที่ 2 มีค่าน้อยกว่า ส . ป . ส . ของการแปรผัน ของข้อมูลชุดที่ 1 จะได้ ส . ป . ส . การแปรผันข้อมูลชุดที่ 1 = \frac{S . D ._{x}}{\bar{x}} = \frac{\sqrt{\frac{\sum {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}{N}}}{\bar{x}} = \frac{\sqrt{\frac{0}{10}}}{a} = 0 จะได้ ส . ป . ส . การแปรผันของชุดที่ 2 = \frac{S . D ._{y}}{\bar{y}} = \frac{\sqrt{\frac{\sum {(y - \bar{y})}^{2}}{N}}}{\bar{y}} = \frac{\sqrt{\frac{0}{10}}}{2 a + 1} = 0 ดังนั้น ส . ป . ส . การแปรผันชุดที่ 2 = ส . ป . ส . การแปรผันชุดที่ 1 ข้อ (ข) ผิด$

$(ค) จากโจทย์ ถ้าแต่ละ x_{i} มีค่าเพิ่มขึ้น 1 หน่วย แล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดที่ 2 มีค่าเพิ่มขึ้น จะได้ x_{i} = a + 1 \to \bar{x} = a + 1 y_{i} = 2 x + 1 \to \bar{y} = 2 \bar{x} + 1 = 2 (a + 1) + 1 = 2 a + 3 \to y_{1} = 2 (a + 1) + 1 = 2 a + 3, y_{2} = 2 a + 3, \dots, y_{10} = 2 a + 3 ข้อมูลชุดที่ 2 = \sqrt{\frac{\sum {(y - \bar{y})}^{2}}{N}} = \sqrt{\frac{0}{10}} = 0 ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดที่ 2 มีค่าเท่าเดิม ข้อ (ค) ผิด$