ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2560

ข้อ 13

กำหนดให้ $A B C$ เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยมี $A, B$ และ $C$ เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ให้ $\bar{a} = \vec{A B}, \bar{b} = \vec{B C}$ และ $\bar{c} = \vec{C A}$

ถ้า $\bar{a} \cdot \bar{b} = - 15, \bar{b} \cdot \bar{c} = - 21$ และ $\bar{c} \cdot \bar{a} = - 10$ แล้ว พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม $A B C$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$7 \sqrt{2}$ ตารางหน่วย
2
$8 \sqrt{2}$ ตารางหน่วย
3
$\frac{15 \sqrt{2}}{2}$ ตารางหน่วย
4
$5 \sqrt{3}$ ตารางหน่วย
5
$\frac{15 \sqrt{3}}{2}$ ตารางหน่วย

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ A B C เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยมี A, B และ C เป็นจุดยอด ให้ \bar{a} = \bar{A B}, \bar{b} = \bar{B C} และ \bar{c} = \bar{C A} - วาดรูปสามเหลี่ยม A B C$

$แสดงว่า \bar{A B} + \bar{B C} + \bar{C A} = 0 a + b + c = 0 \to 1 หาด้าน a จาก 1 a + b + c = 0; ดอท a ทั้ง 2 ข้าง a \cdot (a + b + c) = a \cdot 0 a \cdot a + a \cdot b + a \cdot c = 0; โดย a \cdot c = c \cdot a a \cdot a + a \cdot b + c \cdot a = 0; แทนค่า a \cdot b และ c \cdot a จะได้ a \cdot a + (- 15) + (- 10) = 0 a \cdot a = 25; โดย a \cdot a = {|a|}^{2} {|a|}^{2} = 25 |a| = 5$

$หาด้าน b จาก 1 a + b + c = 0; ดอท b ทั้ง 2 ข้าง b \cdot (a + b + c) = b \cdot 0 b \cdot a + b \cdot b + b \cdot c = 0; โดย b \cdot a = a \cdot b a \cdot b + b \cdot b + b \cdot c = 0; แทนค่า a \cdot b และ b \cdot c (- 15) + b \cdot b + (- 21) = 0; โดย b \cdot b = {|b|}^{2} {|b|}^{2} = 36 |b| = 6$

$หาด้าน c จาก 1 a + b + c = 0; ดอท c ทั้ง 2 ข้าง c \cdot (a + b + c) = c \cdot 0 c \cdot a + c \cdot b + c \cdot c = 0; โดย c \cdot b = b \cdot c (- 10) + (- 21) + c \cdot c = 0; โดย c \cdot c = {|c|}^{2} {|c|}^{2} = 31 |c| = \sqrt{31} วาดรูปสามเหลี่ยม A B C$

$กำหนดให้ h = ความสุงของสามเหลี่ยม A B C x = ความยาวด้าน A D หา h A D C เป็น ∆ มุมฉาก จะได้ {(\sqrt{31})}^{2} = h^{2} + x^{2} h^{2} = 31 - x^{2} \to 2 C D B เป็น ∆ มุมฉาก จะได้ 6^{2} = h^{2} + {(5 - x)}^{2} h^{2} = 36 - {(5 - x)}^{2}$

$จะได้ h^{2} = h^{2} 31 - x^{2} = 36 - {(5 - x)}^{2} 31 - x^{2} = 36 - 25 + 10 x - x^{2} x = 2; แทนใน 2 จาก 2 จะได้ h^{2} = 31 - 2^{2} = 27 h = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3}$

$ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม A B C = \frac{1}{2} \times ฐาน \times สูง = \frac{1}{2} \times |\bar{A B}| \times h = \frac{1}{2} \times 5 \times 3 \sqrt{3} = \frac{15 \sqrt{3}}{2}$