ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2565 (หลักสูตรใหม่)

ข้อ 28

ให้ $\overset{⇀}{s} = [\begin{matrix} a \\ b \\ 2 \end{matrix}], \overset{⇀}{u} = [\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}], \overset{⇀}{v} = [\begin{matrix} 0 \\ - 3 \\ 4 \end{matrix}]$ และ $\overset{⇀}{w} = [\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}]$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง ถ้าขนาดของมุมระหว่าง $\overset{⇀}{s}$ และ $\overset{⇀}{u}$ เท่ากับขนาดของมุมระหว่าง $\overset{⇀}{s}$ และ $\overset{⇀}{v}$ และ $\overset{⇀}{s}$ ตั้งฉากกับ $\overset{⇀}{w}$ แล้ว $a + b$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ ขนาดของมุม \overset{⇀}{s} และ \overset{⇀}{u} เท่ากับขนาดของมุม \overset{⇀}{s} และ \overset{⇀}{v} จากเรื่องเวกเตอร์ หาขนาดของมุมได้จาก \overset{⇀}{u} \cdot \overset{⇀}{v} = |\overset{⇀}{u}| |\overset{⇀}{v}| \cos θ หาขนาดของมุม \overset{⇀}{s} และ \overset{⇀}{u} ได้จาก \overset{⇀}{s} \cdot \overset{⇀}{u} = |\overset{⇀}{s}| |\overset{⇀}{u}| \cos θ$

$[\begin{matrix} a \\ b \\ 2 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}] = (\sqrt{a^{2} + b^{2} + 4}) (\sqrt{2^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}}) \cos θ 2 a + b - 4 = (3 \sqrt{a^{2} + b^{2} + 4}) \cos θ \cos θ = \frac{2 a + b - 4}{3 \sqrt{a^{2} + b^{2} + 4}} \to 1$

$หาขนาดของมุม \overset{⇀}{s} และ \overset{⇀}{v} ได้จาก \overset{⇀}{s} \cdot \overset{⇀}{v} = |\overset{⇀}{s}| |\overset{⇀}{v}| \cos θ [\begin{matrix} a \\ b \\ 2 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 0 \\ - 3 \\ 4 \end{matrix}] = (\sqrt{a^{2} + b^{2} + 4}) (\sqrt{0^{2} + {(- 3)}^{2} + {(4)}^{2}}) \cos θ - 3 b + 8 = 5 \sqrt{a^{2} + b^{2} + 4} \cos θ \cos θ = \frac{- 3 b + 8}{5 \sqrt{a^{2} + b^{2} + 4}} \to 2$

$จาก 1 = 2; \frac{2 a + b - 4}{3 \sqrt{a^{2} + b^{2} + 4}} = \frac{- 3 b + 8}{5 \sqrt{a^{2} + b^{2} + 4}} \frac{2 a + b - 4}{3} = \frac{- 3 b + 8}{5} 10 a + 5 b - 20 = - 9 b + 24 10 a + 14 b - 44 = 0 \to 3$

$จากโจทย์ \overset{⇀}{s} ตั้งฉากกับ \overset{⇀}{w} จะได้ว่า \overset{⇀}{s} \cdot \overset{⇀}{w} = 0 [\begin{matrix} a \\ b \\ 2 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}] = 0 a + 4 b + 6 = 0 \to 4 10 a + 40 b + 60 = 0 \to 5; คูณ 10 ทั้งสมการ$

$แก้สมการจาก 5 - 3 จะได้ 26 b + 104 = 0 b = - 4 แทน b ลงในสมการ 4 จะได้ a = 10 ดังนั้น a + b เท่ากับ 10 + (- 4) = 6$

ข้อถัดไป