ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2566 (หลักสูตรใหม่)

ข้อ 17

ให้จุด $(a, b)$ เป็นจุดบนวงรี $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

ถ้าระยะห่างระหว่างจุด $(a, b)$ กับจุด $(0, - \frac{5}{4})$ เท่ากับระยะระหว่างจุด $(a, b)$ กับเส้นตรง $y = - \frac{3}{4}$ แล้วค่าของ $b$ เท่ากับเท่าใด

1
$- 3$
2
$- \frac{3}{2}$
3
$- \frac{3}{4}$
4
$\frac{3}{2}$
5
$3$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{3} = 1 จะได้ จุดศูนย์กลาง (h, k) = (0, 0) - วาดรูปวงรี$

$จากโจทย์ จุด (a, b) เป็นจุดบนวงรี \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{3} = 1 จะได้ \frac{a^{2}}{2} + \frac{b^{2}}{3} = 1 \to 1 แสดงว่า - \sqrt{2} < a < \sqrt{2} และ - \sqrt{3} < b < \sqrt{3} \to A$

$จากสูตร ระยะห่างระหว่างจุด 2 จุด (d) d = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} \to 2 จากโจทย์ ระยะห่างระหว่างจุด (a, b) กับจุด (0, - \frac{5}{4}) เท่ากับ ระยะระหว่างจุด (a, b) กับเส้นตรง y = - \frac{3}{4}$

$จะได้ ระยะห่างระหว่างจุด (a, b) กับจุด (0, - \frac{5}{4}) เท่ากับ ระยะระหว่างจุด (a, b) กับเส้นตรง y + \frac{3}{4} = 0$

$- หาระยะห่างระหว่างจุด (a, b) กับจุด (0, - \frac{5}{4}) จาก 2 จะได้ d = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} d = \sqrt{{(a - 0)}^{2} + {(b - (- \frac{5}{4}))}^{2}} d = \sqrt{a^{2} + {(b + \frac{5}{4})}^{2}} \to 3$

$จากสูตร ระยะห่าง (d) ระหว่างจุด (x_{1}, y_{1}) ไปยังเส้นตรง A x + B y + C = 0 d = \frac{|A x_{1} + B y_{1} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \to 4$

$- ระยะระหว่างจุด (a, b) กับเส้นตรง y + \frac{3}{4} = 0 จาก 4 จะได้ d = \frac{|A x_{1} + B y_{1} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} d_{2} = \frac{|0 (a) + 1 (b) + \frac{3}{4}|}{\sqrt{0^{2} + {(1)}^{2}}} d_{2} = |b + \frac{3}{4}| \to 5$

$จากโจทย์ ระยะห่างระหว่างจุด (a, b) กับจุด (0, \frac{5}{4}) เท่ากับ ระยะระหว่างจุด (a, b) กับเส้นตรง y = - \frac{3}{4} จะได้ 3 = 5 d_{1} = d_{2} \sqrt{a^{2} + {(b + \frac{5}{4})}^{2}} = |b + \frac{3}{4}|$

$- ยกกำลัง 2 ทั้ง 2 ข้างของสมการ จะได้ {(\sqrt{a^{2} + {(b + \frac{5}{4})}^{2}})}^{2} = {|b + \frac{3}{4}|}^{2} - โดย {|x|}^{2} = x^{2}$

$จะได้ a^{2} + {(b + \frac{5}{4})}^{2} = {(b + \frac{3}{4})}^{2} a^{2} + b^{2} + \frac{5}{2} b + \frac{25}{16} = b^{2} + \frac{3}{2} b + \frac{9}{16} a^{2} = - b - 1 \to 6$

$จาก 1 \frac{a^{2}}{2} + \frac{b^{2}}{3} = 1 - จาก 6 แทนค่า a^{2} ใน 1 จะได้ \frac{a^{2}}{2} + \frac{b^{2}}{3} = 1 \frac{- b - 1}{2} + \frac{b^{2}}{3} = 1$

$3 (- b - 1) + 2 b^{2} = 6 - 3 b - 3 + 2 b^{2} = 6 2 b^{2} - 3 b - 9 = 0 (2 b + 3) (b - 3) = 0 b = - \frac{3}{2}, 3$

$จาก A - \sqrt{2} < a < \sqrt{2} และ - \sqrt{3} < b < \sqrt{3} จะได้ - 1.732 \dots < b < 1.732 \dots แสดงว่า b = - \frac{3}{2} ดังนั้น ค่าของ b เท่ากับ - \frac{3}{2}$

ข้อถัดไป