ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2566 (หลักสูตรใหม่)

ข้อ 16

กำหนดทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก $A B C D E F G H$ ในระบบพิกัดฉากสามมิติที่มีจุด $B (1, 1, 0)$

จุด $C (1, 2, 0)$ และจุด $F (0, 1, 2)$ เมื่อลาก $\bar{A C}$ และ $\bar{C E}$ จะได้ $A \hat{C} E = θ$ ดังรูป

ค่าของ $s e c θ$ เท่ากับเท่าใด

1
$\frac{1}{\sqrt{10}}$
2
$\frac{1}{10}$
3
$\sqrt{10}$
4
$10$
5
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากรูป A อยู่บนแกน Y (แกน y จะได้ x, z = 0), A B ขนานกับแกน X จะได้ จุด A คือ A (0, 1, 0) จากรูป D อยู่บนแกน Y (แกน y จะได้ x, z = 0), D C ขนานกับแกน X จะได้ จุด D คือ D (0, 2, 0) จากรูป E อยู่บนระนาบ Y Z, E D ขนานกับ F A, E F ขนานกับ D A จะได้ จุด E คือ E (0, 2, 2) จากสูตร u \cdot v = |u| |v| \cos θ$

$จากโจทย์ A \hat{C} E = θ จะได้ C A \cdot C E = |C A| |C E| \cos θ \to 1$

$- หาค่า C A, | C A |$
$จะได้ C A = A (0, 1, 0) - C (1, 2, 0) = [\begin{matrix} 0 - 1 \\ 1 - 2 \\ 0 - 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}] แสดงว่า |C A| = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 0^{2}} = \sqrt{2}$

$- หาค่า C E, |C E| จะได้ C E = E (0, 2, 2) - C (1, 2, 0) = [\begin{matrix} 0 - 1 \\ 2 - 2 \\ 2 - 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}] แสดงว่า |\bar{C E}| = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 0^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}$

$จาก 1 C A \cdot C E = |C A| |C E| \cos θ จะได้ [\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}] = \sqrt{2} \sqrt{5} \cos θ$

$(- 1) (- 1) + (- 1) (0) + 0 (2) = \sqrt{10} \cos θ 1 + 0 + 0 = \sqrt{10} \cos θ 1 = \sqrt{10} \cos θ \cos θ = \frac{1}{\sqrt{10}}$

$จากโจทย์ ค่าของ s e c θ เท่ากับเท่าใด ดังนั้น s e c θ = \frac{1}{\cos θ} s e c θ = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{10}}} = \sqrt{10}$

ข้อถัดไป