ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2566 (หลักสูตรใหม่)

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{จุด} \left(a, b\right) \mathrm{เป็นจุดบนวงรี} \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1 \\ \mathrm{จะได้} \frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{3}=1\to \boxed{1} \\ \mathrm{แสดงว่า} -\sqrt{2}<a<\sqrt{2} \mathrm{และ} -\sqrt{3}<b<\sqrt{3} \to \boxed{A} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสูตร} \mathrm{ระยะห่างระหว่างจุด} 2 \mathrm{จุด} \left(d\right) \\ d = \sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(y_1-y_2\right)}^2}\to \boxed{2} \\ \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{ระยะห่างระหว่างจุด} \left(a, b\right) \mathrm{กับจุด} \left(0, -\frac{5}{4}\right) \mathrm{เท่ากับ} \\ \mathrm{ระยะระหว่างจุด} \left(a, b\right) \mathrm{กับเส้นตรง} y=-\frac{3}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} \mathrm{ระยะห่างระหว่างจุด} \left(a, b\right) \mathrm{กับจุด} \left(0, -\frac{5}{4}\right) \mathrm{เท่ากับ} \\ \mathrm{ระยะระหว่างจุด} \left(a, b\right) \mathrm{กับเส้นตรง} y+\frac{3}{4} = 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} - \mathrm{หาระยะห่างระหว่างจุด} \left(a, b\right) \mathrm{กับจุด} \left(0, -\frac{5}{4}\right) \\ \mathrm{จาก} \boxed{2} \mathrm{จะได้} d = \sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(y_1-y_2\right)}^2} \\ d = \sqrt{{\left(a-0\right)}^2+{\left(b-\left(-\frac{5}{4}\right)\right)}^2} \\ d = \sqrt{a^2+{\left(b+\frac{5}{4}\right)}^2} \to \boxed{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสูตร} \mathrm{ระยะห่าง} \left(d\right) \mathrm{ระหว่างจุด} \left(x_1, y_1\right) \mathrm{ไปยังเส้นตรง} Ax+By+C=0 \\ d = \frac{\left|A{x}_1+B{y}_1+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \to \boxed{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} - \mathrm{ระยะระหว่างจุด} \left(a, b\right) \mathrm{กับเส้นตรง} y+\frac{3}{4}=0 \\ \mathrm{จาก} \boxed{4} \mathrm{จะได้} d = \frac{\left|A{x}_1+B{y}_1+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \\ d_2 = \frac{\left|0\left(a\right)+1\left(b\right)+{\displaystyle \frac{3}{4}}\right|}{\sqrt{0^2+{\left(1\right)}^2}} \\ d_2 = \left|b+\frac{3}{4}\right| \to \boxed{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{ระยะห่างระหว่างจุด} \left(a, b\right) \mathrm{กับจุด} \left(0, \frac{5}{4}\right) \mathrm{เท่ากับ} \\ \mathrm{ระยะระหว่างจุด} \left(a, b\right) \mathrm{กับเส้นตรง} y=-\frac{3}{4} \\ \mathrm{จะได้} \boxed{3} = \boxed{5} \\ d_1 = d_2 \\ \sqrt{a^2+{\left(b+\frac{5}{4}\right)}^2} = \left|b+\frac{3}{4}\right| \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} - \mathrm{ยกกำลัง} 2 \mathrm{ทั้ง} 2 \mathrm{ข้างของสมการ} \\ \mathrm{จะได้} {\left(\sqrt{a^2+{\left(b+\frac{5}{4}\right)}^2}\right)}^2 = {\left|b+\frac{3}{4}\right|}^2 \\ - \mathrm{โดย} {\left|x\right|}^2 = x^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} a^2+{\left(b+\frac{5}{4}\right)}^2 = {\left(b+\frac{3}{4}\right)}^2 \\ a^2+b^2+\frac{5}{2}b+\frac{25}{16} = b^2+\frac{3}{2}b+\frac{9}{16} \\ a^2 = -b-1 \to \boxed{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} \boxed{1} \frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{3} = 1 \\ - \mathrm{จาก} \boxed{6} \mathrm{แทนค่า} a^2 \mathrm{ใน} \boxed{1} \\ \mathrm{จะได้} \frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{3} = 1 \\ \frac{-b-1}{2}+\frac{b^2}{3} = 1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 3(-b-1)+2b^2 = 6 \\ -3b-3+2b^2 = 6 \\ 2b^2-3b-9 = 0 \\ (2b+3)(b-3) = 0 \\ b = -\frac{3}{2}, 3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} \boxed{A} -\sqrt{2}<a<\sqrt{2} \mathrm{และ} -\sqrt{3}<b<\sqrt{3} \\ \mathrm{จะได้} -1.732\dots <b<1.732\dots \\ \mathrm{แสดงว่า} b=-\frac{3}{2} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ค่าของ} b \mathrm{เท่ากับ} -\frac{3}{2} \end{gathered}$$