ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2566

$จากโจทย์ p (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e \to 1 จะได้ p' (x) = 4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d \to 2$

$จากโจทย์ p' (0) = - 4 - แทนค่า x = 0 ใน 2 จะได้ p' (0) = 4 a (0) + 3 b (0) + 2 c (0) + d - 4 = 0 + 0 + 0 + d d = - 4$

$จากโจทย์ p (0) = - 2 - แทนค่า x = 0 ใน 1 จะได้ p (0) = a (0) + b (0) + c (0) + d (0) + e - 2 = e e = - 2 ดังนั้น p (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} - 4 x - 2 \to 3$

$จากโจทย์ x^{2} - 1 หาร p (x) ลงตัว จะได้ (x - 1) (x + 1) หาร p (x) ลงตัว แสดงว่า p (1) = 0, p (- 1) = 0 (จากทฤษฎีบทเศษเหลือ)$

$- p (1) = 0 - แทนค่า x = 1 ใน 3 จะได้ p (1) = a {(1)}^{4} + b {(1)}^{3} + c {(1)}^{2} - 4 (1) - 2 0 = a + b + c - 6 a + b + c = 6 \to 4$

$- p (- 1) = 0 - แทนค่า x = - 1 ใน 3 จะได้ p (- 1) = a {(- 1)}^{4} + b {(- 1)}^{3} + c {(- 1)}^{2} - 4 (- 1) - 2 0 = a - b + c + 4 - 2 a - b + c = - 2 \to 5$

$- นำ 4 - 5 จะได้ 2 b = 8 b = 4 แทน b = 4 ใน 4 จะได้ a + 4 + c = 6 a + c = 2 จาก 3 จะได้ p (x) = a x^{4} + 4 x^{3} + c x^{2} - 4 x - 2 \to 6$

$จากโจทย์ x^{2} - 1 หาร p (x) ลงตัว จะได้ x^{2} - 1 หาร a x^{4} + 4 x^{3} + c x^{2} - 4 x - 2 ลงตัว$

$x^{2} - 1 \begin{matrix} a x^{2} & + 4 x & + (a + c) \end{matrix} \begin{matrix} a x^{4} & + 4 x^{3} & + c x^{2} & - 4 x & - 2 \\ a x^{4} & - a x^{2} \\ 0 & + 4 x^{3} & + (a + c) x^{2} & - 4 x & - 2 \\ 4 x^{3} & - 4 x \\ (a + c) x^{2} & - 2 \\ (a + c) x^{2} & - (a + c) \\ - 2 + (a + c) \end{matrix}$

$แสดงว่า p (x) = (x^{2} - 1) (a x^{2} + 4 x + (a + c)) p (x) = (x^{2} - 1) (a x^{2} + 4 x + 2) p (x) = (x - 1) (x + 1) (a x^{2} + 4 x + 2) \to a จากโจทย์ ให้ S แทนเซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่เป็นคำตอบของสมการ p (x) = 0 n (S) = 3$

$จะได้ คำตอบของ p (x) ที่เป็นไปได้คือ - 1, 1 ซึ่งขาดอีก 1 คำตอบ ซึ่ง 1 คำตอบที่เหลือต้องอยู่ในสมการ a x^{2} + 4 x + 2 ที่ทำให้สมการ p (x) มี 3 คำตอบ แบ่งได้ 3 กรณี คือ กรณีที่ 1 a x^{2} + 4 x + 2 มี 1 เป็นคำตอบ และตัวอื่นที่ไม่ใช่ - 1 กรณีที่ 2 a x^{2} + 4 x + 2 มี - 1 เป็นคำตอบ และตัวอื่นที่ไม่ใช่ 1 กรณีที่ 3 a x^{2} + 4 x + 2 มี 1 คำตอบและคำตอบนั้นต้องไม่ใช่ 1 กับ - 1$

$กรณีที่ 1 กำหนดให้ Q (x) = a x^{2} + 4 x + 2 มี 1 เป็นคำตอบ จะได้ Q (1) = 0 a \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 + 2 = 0 a + 6 = 0 a = - 6$

$- แทนค่า a = - 6 ใน Q (x) จะได้ Q (x) = - 6 x^{2} + 4 x + 2 Q (x) = - 2 (3 x + 1) (x - 1) จาก a p (x) = (x - 1) (x + 1) (a x^{2} + 4 x + 2) p (x) = (x - 1) (x + 1) (6 x^{2} + 4 x + 2)$

$แสดงว่า สมาชิกในเซต S คือ 1, - 1, - \frac{1}{3} ดังนั้น ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต S เท่ากับ = 1 + (- 1) + (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{3}$

ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2566 (หลักสูตรใหม่)

ข้อ 25

เฉลยข้อสอบ

Facebook Messenger

แชทผ่าน LINE