ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2566 (หลักสูตรใหม่)

$$\begin{gathered} \mathrm{นิยาม} \underset{x\to a}{\lim }\left(f\left(x\right)·g\left(x\right)\right) = \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)·\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right) \to \boxed{1} \\ \underset{x\to a}{\lim }\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) = \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right) \to \boxed{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากรูป} \mathrm{กราฟของฟังก์ชัน} f \\ - \mathrm{เมื่อ} x \mathrm{เข้าใกล้} 1 \mathrm{ทำให้} f\left(x\right) \mathrm{มีค่าเท่ากับ} 4 \\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right) = \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right) = \underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right) = 4 \\ \mathrm{แต่} f\left(1\right)=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากรูป} \mathrm{กราฟของฟังก์ชัน} g \\ - \mathrm{เมื่อ} x \mathrm{เข้าใกล้} 1 \mathrm{ทำให้} g\left(x\right) \mathrm{มีค่าเท่ากับ} 2 \\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }g\left(x\right) = \underset{x\to 1^{+}}{\lim }g\left(x\right) = \underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right) = 2 \\ \mathrm{แต่} g\left(1\right)=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} ก) \underset{x\to 1}{\lim }\left(f\left(x\right)·g\left(x\right)\right)=1 \\ \mathrm{จาก} \boxed{1} \underset{x\to 1}{\lim }\left(f\left(x\right)·g\left(x\right)\right) = \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)·\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right) \\ - \mathrm{แทน} a=1 \underset{x\to 1}{\lim }\left(f\left(x\right)·g\left(x\right)\right) = \underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)·\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right) \\ = 4\left(2\right) \\ = 8 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ข้อ} ก) \mathrm{ผิด} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากรูป} \mathrm{กราฟของฟังก์ชัน} f \\ - \mathrm{เมื่อ} x \mathrm{เข้าใกล้} -1 \\ \mathrm{จะได้} x\to 1^{-} \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right) = 0 \\ x\to 1^{+} \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right) = 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากรูป} \mathrm{กราฟของฟังก์ชัน} g \\ - \mathrm{เมื่อ} x \mathrm{เข้าใกล้} -1 \\ \mathrm{จะได้} x\to 1^{-} \underset{x\to 1^{-}}{\lim }g\left(x\right) = 0 \\ x\to 1^{+} \underset{x\to 1^{+}}{\lim }g\left(x\right) = -2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} ข) \underset{x\to 1}{\lim }\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=0 \\ \mathrm{จาก} \boxed{2} \underset{x\to a}{\lim }\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) = \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right) \\ -\mathrm{แทน} x=-1 \\ \mathrm{จะได้} \underset{x\to -1}{\lim }\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) = \underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to -1}{\lim }g\left(x\right) \\ x\to -1^{-} \underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) = \underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to -1^{-}}{\lim }g\left(x\right) \\ = 0+0 \\ = 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x\to -1^{+} \underset{x\to -1^{+}}{\lim }\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) = \underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to -1^{+}}{\lim }g\left(x\right) \\ = 2+\left(-2\right) \\ = 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{แสดงว่า} \underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) = \underset{x\to -1^{+}}{\lim }(f\left(x\right)+g\left(x\right)) \\ 0 = 0 \\ \mathrm{ดังนั้น} \underset{x\to 1}{\lim }(f\left(x\right)+g\left(x\right)) = 0 \\ \mathrm{ข้อ} ข) \mathrm{ถูก} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} ค) f+g \mathrm{เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง} (2, 4] \\ \mathrm{จากรูป} \mathrm{กราฟของฟังกชัน} f \\ \mathrm{จะได้} f \mathrm{เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง} (2, 4] \\ (\mathrm{แต่ไม่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง} \left[2, 4\right]) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากรูป} \mathrm{กราฟของฟังก์ชัน} g \\ \mathrm{จะได้} g \mathrm{เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง} (2,4] \\ (\mathrm{แต่ไม่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง} \left[2, 4\right]) \\ \mathrm{แสดงว่า} f+g \mathrm{เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง} 2,4] \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ข้อ} ค) \mathrm{ถูก} \end{gathered}$$