ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2566 (หลักสูตรใหม่)

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสูตร} \mathrm{พาราโบลา} (\mathrm{หงาย}/\mathrm{คว่ำ}) \\ y-k = a{\left(x-h\right)}^2 \mathrm{โดย} \left(h, k\right) = \mathrm{จุดยอด} \\ \mathrm{จะได้} y = a{\left(x-h\right)}^2+k \\ f\left(x\right) = a{\left(x-h\right)}^2+k \to \boxed{1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสูตร} \mathrm{สมการเส้นตรง} \\ y = mx+c \to \boxed{2} \\ \mathrm{โดย} m= \mathrm{ความชัด} , c= \mathrm{จุดตัดแกน} y \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{ฟังก์ชัน} f \mathrm{เป็นพาราโบลาที่จุดยอดอยู่ที่จุด} \left(2, 4\right) \\ \mathrm{จะได้} \left(h, k\right) = \left(2, 4\right) \\ \mathrm{จาก} \boxed{1} \mathrm{จะได้} f\left(x\right) = a{\left(x-2\right)}^2+4 \to \boxed{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{ตัดแกน} X \mathrm{ที่จุด} \left(0, 0\right) \\ \mathrm{จาก} \boxed{3} \mathrm{จะได้} 0 = a{\left(0-2\right)}^2+4 \\ a = -1 ; \mathrm{แทนใน} \boxed{3} \\ \mathrm{ดังนั้น} f\left(x\right) = -{\left(x-2\right)}^2+4 \\ -\mathrm{ดิฟทั้ง} 2 \mathrm{ข้างของสมการ} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} f\text{'}\left(x\right) = -2{\left(x-2\right)}^1\frac{d}{dx}\left(x-2\right)+0 \\ f\text{'}\left(x\right) = -2\left(x-2\right) \\ f\text{'}\left(x\right) = -2x+4 \to \boxed{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากรูป} g\left(x\right) \mathrm{เป็นเส้นตรง} \mathrm{ผ่านจุด} \left(0, 1\right) , \left(2, 0\right) \\ \mathrm{จะได้} - \mathrm{ความชัน} \left(m\right) = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ = \frac{0-1}{2-0} = -\frac{1}{2} \\ - \mathrm{จุดตัดแกน} y\left(c\right) = 1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} \boxed{2} \mathrm{จะได้} y=-\frac{1}{2}x+1 \\ \mathrm{ดังนั้น} g\left(x\right) = -\frac{1}{2}x+1 \to \boxed{5} \\ -\mathrm{อินทิเกรตทั้ง} 2 \mathrm{ข้างของสมการ} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} {\int }_{}g\left(x\right)dx = \int \left(-\frac{1}{2}x+1\right)dx \\ = -\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{2}\right)+x+c_1 \\ = -\frac{1}{4}{x}^2+x+c_1 \to \boxed{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} -\mathrm{หาค่า} {\int }_2^{4}g\left(x\right)dx \\ \mathrm{จะได้} {\int }_2^{4}g\left(x\right)dx = {-\frac{1}{4}{x}^2+x+\overline{)c_1}}_2^4 \\ = \left(-\frac{1}{4}{\left(4\right)}^2+4+c_1\right)- \left(-\frac{1}{4}{\left(2\right)}^2+2+c_1\right) \\ = \left(-4+4+c_1\right)-\left(-1+2+c_1\right) \\ = -1 \to \boxed{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากรูป} h\left(x\right) \mathrm{เป็นเส้นตรง} \mathrm{ผ่านจุด} \left(0, 4\right) , \left(2, 0\right) \\ \mathrm{จะได้} - \mathrm{ความชัน} \left(m\right) = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ = \frac{0-4}{2-0} = \frac{-4}{2} = -2 \\ - \mathrm{จุดตัดแกน} y\left(c\right) = 4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} \boxed{2} \mathrm{จะได้} y = -2x+4 \\ \mathrm{ดังนั้น} h\left(x\right) = -2x+4 \to \boxed{8} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} -\mathrm{อินทิเกรตทั้ง} 2 \mathrm{ข้างของสมการ} \\ \mathrm{จะได้} \int h\left(x\right)dx = \int \left(-2x+4\right)dx \\ = -2\frac{x^2}{2}+4x+c_2 \\ = -x^2+4x+c_2 \to \boxed{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} -\mathrm{หาค่า} {\int }_0^{2}h\left(x\right)dx \\ \mathrm{จะได้} {\int }_0^{2}h\left(x\right)dx = {\overline{)-x^2+4x+c_2}}_0^2 \\ = \left(-{\left(2\right)}^2+4\left(2\right)+c_2\right)-\left(-0^2+4\left(0\right)+c_2\right) \\ = \left(-4+8+c_2\right)-\left(c_2\right) \\ = 4 \to \boxed{10} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{C}\mathit{h}\mathit{e}\mathit{c}\mathit{k}\mathbf{ }\mathbf{ตัวเลือก} \\ \mathbf{ตัวเลือกที่}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }f\text{'}\left(x\right)=h\left(x\right) \mathrm{และ} {\int }_0^{2}h\left(x\right)dx = -4{\int }_0^{2}g\left(x\right)dx \\ \mathrm{จาก} \boxed{4} ; f\text{'}\left(x\right)=-2x+4 , \mathrm{จาก} \boxed{8} ; h\left(x\right)=-2x+4 \\ \mathrm{จะได้} f\text{'}\left(x\right)=h\left(x\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} \boxed{10} ; {\int }_0^{2}h\left(x\right)dx=4 , \mathrm{จาก} \boxed{7} ; {\int }_2^{4}g\left(x\right)dx=-1 \\ \mathrm{จะได้} {\int }_0^{2}h\left(x\right)dx = -4{\int }_2^{4}g\left(x\right)dx \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ตัวเลือกที่} 1 \mathrm{ถูกต้อง} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{ตัวเลือกที่}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }f\text{'}\left(x\right)=h\left(x\right) \mathrm{และ} {\int }_0^{2}h\left(x\right)dx = -3{\int }_2^{4}g\left(x\right)dx \\ \mathrm{จากตัวเลือกที่} 1 f\text{'}\left(x\right)=h\left(x\right) \mathrm{และ} {\int }_0^{2}h\left(x\right)dx = -4{\int }_2^{4}g\left(x\right)dx \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ตัวเลือกที่} 2 \mathrm{ผิด} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{ตัวเลือกที่}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }f\text{'}\left(x\right)=h\left(x\right) \mathrm{และ} {\int }_0^{2}h\left(x\right)dx = 4{\int }_2^{4}g\left(x\right)dx \\ \mathrm{จากตัวเลือกที่} 1 f\text{'}\left(x\right)=h\left(x\right) \mathrm{และ} {\int }_0^{2}h\left(x\right)dx = -4{\int }_2^{4}g\left(x\right)dx \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ตัวเลือกที} 3 \mathrm{ผิด} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{ตัวเลือกที่}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }f\text{'}\left(x\right)=g\left(x\right) \mathrm{และ} {\int }_0^{2}h\left(x\right)dx = -4{\int }_2^{4}g\left(x\right)dx \\ \mathrm{จาก} \boxed{4} ; f\text{'}\left(x\right) = -2x+4 \\ \mathrm{จาก} \boxed{5} ; g\left(x\right) = -\frac{1}{2}x+1 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ตัวเลือกที่} 4 \mathrm{ผิด} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{ตัวเลือกที}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }f\text{'}\left(x\right)=g\left(x\right) \mathrm{และ} {\int }_0^{2}h\left(x\right)dx = 4{\int }_2^{4}g\left(x\right)dx \\ \mathrm{จากตัวเลือกที่} 4 f\text{'}\left(x\right)\ne g\left(x\right) \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ตัวเลือกที} 5 \mathrm{ผิด} \end{gathered}$$