ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2566 (หลักสูตรใหม่)

ข้อ 23

กำหนดกราฟของฟังก์ชัน $f$ เป็นพาราโบลาที่จุดยอดอยู่ที่จุด $(2, 4)$ และ ตัดแกน $X$ ที่จุด $(0, 0)$ และ $(4, 0)$ และกราฟของฟังก์ชัน $g$ และ $h$ เป็นเส้นตรง ดังรูป

ข้อใดถูกต้อง

1
$f' (x) = h (x)$ และ $\int_{0}^{2} h (x) d x = - 4 \int_{2}^{4} g (x) d x$
2
$f' (x) = h (x)$ และ $\int_{0}^{2} h (x) d x = - 3 \int_{2}^{4} g (x) d x$
3
$f' (x) = h (x)$ และ $\int_{0}^{2} h (x) d x = 4 \int_{2}^{4} g (x) d x$
4
$f' (x) = g (x)$ และ $\int_{0}^{2} h (x) d x = - 4 \int_{2}^{4} g (x) d x$
5
$f' (x) = g (x)$ และ $\int_{0}^{2} h (x) d x = 4 \int_{2}^{4} g (x) d x$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร พาราโบลา (หงาย / คว่ำ) y - k = a {(x - h)}^{2} โดย (h, k) = จุดยอด จะได้ y = a {(x - h)}^{2} + k f (x) = a {(x - h)}^{2} + k \to 1$

$จากสูตร สมการเส้นตรง y = m x + c \to 2 โดย m = ความชัด, c = จุดตัดแกน y$

$จากโจทย์ ฟังก์ชัน f เป็นพาราโบลาที่จุดยอดอยู่ที่จุด (2, 4) จะได้ (h, k) = (2, 4) จาก 1 จะได้ f (x) = a {(x - 2)}^{2} + 4 \to 3$

$จากโจทย์ ตัดแกน X ที่จุด (0, 0) จาก 3 จะได้ 0 = a {(0 - 2)}^{2} + 4 a = - 1; แทนใน 3 ดังนั้น f (x) = - {(x - 2)}^{2} + 4 - ดิฟทั้ง 2 ข้างของสมการ$

$จะได้ f' (x) = - 2 {(x - 2)}^{1} \frac{d}{d x} (x - 2) + 0 f' (x) = - 2 (x - 2) f' (x) = - 2 x + 4 \to 4$

$จากรูป g (x) เป็นเส้นตรง ผ่านจุด (0, 1), (2, 0) จะได้ - ความชัน (m) = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{0 - 1}{2 - 0} = - \frac{1}{2} - จุดตัดแกน y (c) = 1$

$จาก 2 จะได้ y = - \frac{1}{2} x + 1 ดังนั้น g (x) = - \frac{1}{2} x + 1 \to 5 - อินทิเกรตทั้ง 2 ข้างของสมการ$

$จะได้ \int_{} g (x) d x = \int (- \frac{1}{2} x + 1) d x = - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2}) + x + c_{1} = - \frac{1}{4} x^{2} + x + c_{1} \to 6$

$- หาค่า \int_{2}^{4} g (x) d x จะได้ \int_{2}^{4} g (x) d x = {- \frac{1}{4} x^{2} + x + c_{1}}_{2}^{4} = (- \frac{1}{4} {(4)}^{2} + 4 + c_{1}) - (- \frac{1}{4} {(2)}^{2} + 2 + c_{1}) = (- 4 + 4 + c_{1}) - (- 1 + 2 + c_{1}) = - 1 \to 7$

$จากรูป h (x) เป็นเส้นตรง ผ่านจุด (0, 4), (2, 0) จะได้ - ความชัน (m) = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{0 - 4}{2 - 0} = \frac{- 4}{2} = - 2 - จุดตัดแกน y (c) = 4$

$จาก 2 จะได้ y = - 2 x + 4 ดังนั้น h (x) = - 2 x + 4 \to 8$

$- อินทิเกรตทั้ง 2 ข้างของสมการ จะได้ \int h (x) d x = \int (- 2 x + 4) d x = - 2 \frac{x^{2}}{2} + 4 x + c_{2} = - x^{2} + 4 x + c_{2} \to 9$

$- หาค่า \int_{0}^{2} h (x) d x จะได้ \int_{0}^{2} h (x) d x = {- x^{2} + 4 x + c_{2}}_{0}^{2} = (- {(2)}^{2} + 4 (2) + c_{2}) - (- 0^{2} + 4 (0) + c_{2}) = (- 4 + 8 + c_{2}) - (c_{2}) = 4 \to 10$

$C h e c k ตัวเลือก ตัวเลือกที่ 1 f' (x) = h (x) และ \int_{0}^{2} h (x) d x = - 4 \int_{0}^{2} g (x) d x จาก 4; f' (x) = - 2 x + 4, จาก 8; h (x) = - 2 x + 4 จะได้ f' (x) = h (x)$

$จาก 10; \int_{0}^{2} h (x) d x = 4, จาก 7; \int_{2}^{4} g (x) d x = - 1 จะได้ \int_{0}^{2} h (x) d x = - 4 \int_{2}^{4} g (x) d x ดังนั้น ตัวเลือกที่ 1 ถูกต้อง$

$ตัวเลือกที่ 2 f' (x) = h (x) และ \int_{0}^{2} h (x) d x = - 3 \int_{2}^{4} g (x) d x จากตัวเลือกที่ 1 f' (x) = h (x) และ \int_{0}^{2} h (x) d x = - 4 \int_{2}^{4} g (x) d x ดังนั้น ตัวเลือกที่ 2 ผิด$

$ตัวเลือกที่ 3 f' (x) = h (x) และ \int_{0}^{2} h (x) d x = 4 \int_{2}^{4} g (x) d x จากตัวเลือกที่ 1 f' (x) = h (x) และ \int_{0}^{2} h (x) d x = - 4 \int_{2}^{4} g (x) d x ดังนั้น ตัวเลือกที 3 ผิด$

$ตัวเลือกที่ 4 f' (x) = g (x) และ \int_{0}^{2} h (x) d x = - 4 \int_{2}^{4} g (x) d x จาก 4; f' (x) = - 2 x + 4 จาก 5; g (x) = - \frac{1}{2} x + 1 ดังนั้น ตัวเลือกที่ 4 ผิด$

$ตัวเลือกที 5 f' (x) = g (x) และ \int_{0}^{2} h (x) d x = 4 \int_{2}^{4} g (x) d x จากตัวเลือกที่ 4 f' (x) \neq g (x) ดังนั้น ตัวเลือกที 5 ผิด$

ข้อถัดไป