ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2566 (หลักสูตรใหม่)

$$\begin{gathered} \mathrm{สูตรวงกลม} x-h^2+y-k^2 = r^2 \\ \mathrm{โดย} \left(h, k\right) = \mathrm{จุดศูนย์กลางของวงกลม} \\ r = \mathrm{รัศมีของวงกลม} \\ \mathrm{จากโจทย์} {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2 = 1 \\ \mathrm{จะได้} \left(h, k\right) = \left(1, 2\right) , r=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{วงกลมมีเส้นสัมผัสที่ผ่านจุดกำเนิด} 2 \mathrm{เส้น} \mathrm{คือแกน} Y \mathrm{และเส้นตรง} L \\ - \mathrm{วาดรูปวงกลม} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{สูตรสมการเส้นตรง} L y-y_1 = m\left(x-x_1\right) \to \boxed{1} \\ \mathrm{โดย} \left(x_1, y_1\right) = \mathrm{จุดบนเส้นตรง} L \\ m = \mathrm{ความชันเส้นตรง} L \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{เส้นสัมผัสที่ผ่านจุดกำเนิด} \\ \mathrm{แสดงว่า} \left(x_1, y_1\right) = \left(0, 0\right) \\ \mathrm{จาก} \boxed{1} \mathrm{จะได้} y-0 = m\left(x-0\right) \\ y =mx \\ mx-y = 0 \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{เส้นตรง} L \mathrm{คือ} mx-y = 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสูตร} \mathrm{ระยะห่างระหว่างจุด} \left(x_1, y_1\right) \mathrm{กับเส้นตรง} L\hspace{0.17em}\mathrm{คือ} \frac{\left|A{x}_1+B{y}_1+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \\ \mathrm{โดยเส้นตรง} L \mathrm{คือ} Ax+By+C=0 \\ \mathrm{จากรูป} \mathrm{ระยะห่างระหว่างจุด} \left(1, 2\right) \mathrm{กับเส้นตรง} L \mathrm{คือ} \mathrm{รัศมี} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{แสดงว่า} \frac{\left|A{x}_1+B{y}_1+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} = r\to \boxed{2} \\ - \mathrm{แทนค่า} A=m , B=-1 , C=0 , x_1=1 , y_1= 2 ,r=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} \boxed{2} \mathrm{จะได้} \frac{\left|m\left(1\right)-1\left(2\right)+0\right|}{\sqrt{m^2+{\left(-1\right)}^2}} = 1 \\ \frac{\left|m-2\right|}{\sqrt{m^2+1}} = 1 \\ \left|m-2\right| = \sqrt{m^2+1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} -\mathrm{ยกกำลัง} 2 \mathrm{ทั้ง} 2 \mathrm{ข้างของสมการ} \\ \mathrm{จะได้} {\left|m-2\right|}^2 = {\sqrt{m^2+1}}^2 \\ - \mathrm{โดย} {\left|a\right|}^2 = a^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} {\left(m-2\right)}^2 = m^2+1 \\ m^2-4m+4 =m^2+1 \\ -4m = -3 \\ m = \frac{3}{4} \\ m = 0.75 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{เส้นตรง} L \mathrm{ความชันของเส้นตรง} L \mathrm{เท่ากับเท่าใด} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{เส้นตรง} L \mathrm{ความชันของเส้นตรง} L \mathrm{เท่ากับ} 0.75 \end{gathered}$$