ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2555 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 18

กำหนดให้ $A$ เป็นเมทริกซ์มิติ $3 \times 3$ และ $A X_{i} = B_{i}$ เมื่อ $i = 1, 2, 3$

ถ้า $X_{1} = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}], X_{2} = [\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}], X_{3} = [\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}]$
$B_{1} = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], B_{2} = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], B_{3} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$

แล้ว $d e t (A)$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$- 8$
2
$- \frac{1}{8}$
3
$\frac{1}{8}$
4
$1$
5
$8$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ B_{1} = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], B_{2} = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], B_{3} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] จะได้ B_{i} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] B_{i} = I$

$จากโจทย์ X_{1} = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}], X_{2} = [\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}], X_{3} = [\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}] จะได้ X_{i} = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 5 & 5 & 1 \end{matrix}]$

$จากโจทย์ {AX}_{i} = B_{i} {AX}_{i} = I {AX}_{i} X_{i}^{- 1} = I X_{i}^{- 1} A I = I X_{i}^{- 1} A = X_{i}^{- 1} |A| = |X_{i}^{- 1}| |A| = \frac{1}{|X_{i}|} \to 1$

$โดย |X_{i}| = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 5 & 5 & 1 \end{matrix}] = (2 + 15 + 0) - (10 + 15 + 0) = - 8; แทนใน 1 จาก 1 จะได้ |A| = \frac{1}{- 8} ดังนั้น \det A = - \frac{1}{8}$

ข้อถัดไป