ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2556 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 22

ข้อมูลชุดที่ $1$ คือ $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{9}$ โดยที่ $x_{i} = 3 - \frac{i}{5}$ ทุก $i$

ข้อมูลชุดที่ $2$ คือ $y_{1}, y_{2}, y_{3}, \dots, y_{9}$ โดยที่ $y_{i} = |a - j|$ ทุก $j$

เมื่อ $a$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $\sum_{i = 1}^{9} {(x_{i} - a)}^{2}$ มีค่าน้อยที่สุด

ถ้า $b$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $\sum_{j = 1}^{9} |y_{i} - b|$ มีค่าน้อยที่สุด แล้ว $b$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$1$
2
$2$
3
$3$
4
$4$
5
$5$

เฉลยข้อสอบ

$ทฤษฎี \sum_{i = 1}^{N} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} มีค่าน้อยที่สุด เมื่อ \bar{x} คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต \sum_{i = 1}^{N} |x_{i} - m e d| มีค่าน้อยที่สุด เมื่อ m e d คือ มัธยฐาน$

$จากโจทย์ \sum_{i = 1}^{9} {(x_{i} - a)}^{2} มีค่าน้อยที่สุด แสดงว่า a = \bar{x} เมื่อ \bar{x} คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต สูตร \bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{N} x_{i}}{N} โดย x_{i} = 3 - \frac{i}{5} a = \frac{\sum_{i = 1}^{9} (3 - \frac{i}{5})}{9} \to 1$

$ต้องหา \sum_{i = 1}^{9} (3 - \frac{i}{5}) \sum_{i = 1}^{9} (3 - \frac{i}{5}) = \sum_{i = 1}^{9} 3 - \frac{1}{5} \sum_{i = 1}^{9} i โดย \sum_{i = 1}^{N} c = N c, \sum_{i = 1}^{N} i = \frac{N (N + 1)}{2} = 9 (3) - \frac{1}{5} [\frac{9 (9 + 1)}{2}] = 27 - 9 = 18; แทนใน 1$

$จาก 1 จะได้ a = \frac{18}{9} a = 2 จากโจทย์ \sum_{่ j = 1}^{9} |y_{i} - b| มีค่าน้อยที่สุด แสดงว่า b = m e d เมื่อ m e d คือ มัธยฐาน จากโจทย์ y_{i} = |a - j|; แทน a = 2 จะได้ y_{i} = |2 - j|$

$- แทนค่า j = 1, 2, 3, . . . . . . ., 9 จะได้ y_{1} = |2 - 1| = 1 y_{5} = |2 - 5| = 3 y_{2} = |2 - 2| = 0 y_{6} = |2 - 6| = 4 y_{3} = |2 - 3| = 1 y_{7} = |2 - 7| = 5 y_{4} = |2 - 4| = 2 y_{8} = |2 - 8| = 6 y_{9} = |2 - 9| = 7$

$เรียงค่า y จากน้อยไปมาก เพื่อหาค่า m e d จะได้ 0, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ดังนั้น m e d = 3; จาก b = m e d b = 3$