ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2556 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 4

ถ้า $\bar{u} = 2 \bar{i} + \bar{j} - 3 \bar{k}$ และ $\bar{v} \times \bar{w} = \bar{i} + 2 \bar{j} + 4 \bar{k}$ แล้วค่าของ $(\bar{v} \times \bar{u}) \cdot \bar{w}$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$สมบัติเวกตอร์ \vec{x} \times \vec{y} = - \vec{y} \times \vec{x} \vec{x} \cdot (\vec{y} \times \vec{z}) = (\vec{x} \times \vec{y}) \cdot \vec{z} จากโจทย์ (\bar{v} \times \bar{u}) \cdot \bar{w} โดย \vec{x} \times \vec{y} = - \vec{y} \times \vec{x} จะได้ (\bar{v} \times \bar{u}) \cdot \bar{w} = (- \bar{u} \times \bar{v}) \cdot \bar{w} = - [(\bar{u} \times \bar{v}) \cdot \bar{w}] โดย \vec{x} \cdot (\vec{y} \times \vec{z}) = (\vec{x} \times \vec{y}) \cdot \vec{z} = - [\bar{u} \cdot (\bar{v} \times \bar{w})] \to 1$

$จากโจทย์ u = 2 \bar{i} + \bar{j} - 3 \bar{k} และ \bar{v} \times \bar{w} = \bar{i} + 2 \bar{j} + 4 \bar{k}; แทนใน 1 จาก 1 จะได้ (\bar{v} \times \bar{u}) \cdot \bar{w} = - [\bar{u} \cdot (\bar{v} \times \bar{w})] = - [(2 \bar{i} + \bar{j} - 3 \bar{k}) \cdot (\bar{i} + 2 \bar{j} + 4 \bar{k})] = - [2 (1) + 1 (2) + (- 3) (4)] = - (2 + 2 - 12) = 8 ดังนั้น (\bar{v} \times \bar{u}) \cdot \bar{w} = 8$