ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2557 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 12

กำหนดให้ $z_{1}, z_{2}$ และ $z_{3}$ เป็นรากที่ $3$ ของจำนวนเชิงซ้อนจำนวนหนึ่ง

ถ้า $z_{1} = \sqrt{2} (\cos 15 ° + i \sin 15 °)$
แล้วผลคูณ $z_{2} z_{3}$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$2$
2
$\sqrt{2} - \sqrt{2} i$
3
$\sqrt{2} + \sqrt{2} i$
4
$\sqrt{3} - i$
5
$\sqrt{3} + i$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร การหารากที่ n ของ z z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} [\cos (\frac{2 k π + θ}{n}) + i \sin (\frac{2 k π + θ}{n})] เมื่อ k = 0, 1, 2, \dots$

$จากโจทย์ z_{1}, z_{2}, z_{3} เป็นรากที่ 3 ของจำนวนเชิงซ้อนจำนวนหนึ่ง และ z_{1} = \sqrt{2} (\cos 15 ° + i \sin 15 °) จะได้ r^{\frac{1}{n}} = \sqrt{2} \to r^{\frac{1}{3}} = \sqrt{2} โดย 15 ° = \frac{2 k π + θ}{n}; แทน k = 0, n = 3 15 ° = \frac{2 (0) π + θ}{3} θ = 45 °$

$k = 1 z_{2} = \sqrt{2} [\cos (\frac{2 (1) π + 45 °}{3}) + i \sin (\frac{2 (1) π + 45 °}{3})] = \sqrt{2} [\cos (\frac{2 (1) 180 ° + 45 °}{3}) + i \sin (\frac{2 (1) 180 ° + 45 °}{3})] = \sqrt{2} [\cos 135 ° + i \sin 135 °]$

$k = 2 z_{3} = \sqrt{2} [\cos (\frac{2 (2) π + 45 °}{3}) + i \sin (\frac{2 (2) π + 45 °}{3})] = \sqrt{2} [\cos (\frac{2 (2) 180 ° + 45 °}{3}) + i \sin (\frac{2 (2) 180 ° + 45 °}{3})] = \sqrt{2} [\cos 255 ° + i \sin 255 °]$

$จากสูตร z_{2} z_{3} = r_{2} r_{3} [\cos (θ_{2} + θ_{3}) + i \sin (θ_{2} + θ_{3})] = (\sqrt{2}) (\sqrt{2}) [\cos (135 ° + 255 °) + i \sin (135 ° + 255 °)] = 2 [\cos 390 ° + i \sin 390 °] = 2 [\frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2})] = \sqrt{3} + i$