ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2557 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 14

กำหนดให้ $\bar{u}$ และ $\bar{v}$ เป็นเวกเตอร์ใดๆในสามมิติที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ และไม่ขนานกัน จงพิจารณาข้อความ $4$ ข้อความต่อไปนี้

(ก) $|\bar{u} \times \bar{v}| \leq |\bar{u}| |\bar{v}|$

(ข) $\bar{u} \times (\bar{u} + \bar{v}) = \bar{u} \times \bar{v}$

(ค) ${|\bar{u} \times \bar{v}|}^{2} + {|\bar{u} \cdot \bar{v}|}^{2} = {|\bar{u}|}^{2} {|\bar{v}|}^{2}$

(ง) $(5 \bar{u} \times \bar{v}) \cdot 5 \bar{v} = 25$

จำนวนข้อความที่ถูกต้องเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
0 (ไม่มีข้อความใดถูก)
2
1
3
2
4
3
5
4

เฉลยข้อสอบ

$พิจารณาข้อ (ก) จาก |\overset{⇀}{u} \times \overset{⇀}{v}| = |\overset{⇀}{u}| |\overset{⇀}{v}| \sin θ; แต่ \sin θ \leq 1 |\overset{⇀}{u} \times \overset{⇀}{v}| \leq |\overset{⇀}{u}| |\overset{⇀}{v}| (1) |\overset{⇀}{u} \times \overset{⇀}{v}| \leq |\overset{⇀}{u}| |\overset{⇀}{v}| ข้อ (ก) ถูก พิจารณาข้อ (ข) จาก \overset{⇀}{u} \times (\overset{⇀}{u} + \overset{⇀}{v}) = (\overset{⇀}{u} \times \overset{⇀}{u}) + (\overset{⇀}{u} \times \overset{⇀}{v}) = 0 + (\overset{⇀}{u} \times \overset{⇀}{v}) = \overset{⇀}{u} \times \overset{⇀}{v} ถูก ข้อ (ข) ถูก$

$พิจารณาข้อ (ค) จาก {|\overset{⇀}{u} \times \overset{⇀}{v}|}^{2} + {|\overset{⇀}{u} \cdot \overset{⇀}{v}|}^{2} = {(|\overset{⇀}{u}| |\overset{⇀}{v}| \sin θ)}^{2} + {(|\overset{⇀}{u}| |\overset{⇀}{v}| \cos θ)}^{2} = {|\overset{⇀}{u}|}^{2} {|\overset{⇀}{v}|}^{2} (\sin^{2} θ + \cos^{2} θ) โดย \sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1 = {|\overset{⇀}{u}|}^{2} {|\overset{⇀}{v}|}^{2} (1) = {|\overset{⇀}{u}|}^{2} {|\overset{⇀}{v}|}^{2} ข้อ (ค) ถูก$

$พิจารณาข้อ (ง) จาก (5 \overset{⇀}{u} \times \overset{⇀}{v}) \cdot 5 \overset{⇀}{v} = 25 [(\overset{⇀}{u} \times \overset{⇀}{v}) \cdot \overset{⇀}{v}] ใช้สมบัติสลับที่การ D o t และ C r o s s = 25 [\overset{⇀}{v} \cdot (\overset{⇀}{u} \times \overset{⇀}{v})] = 25 [\overset{⇀}{u} \cdot (\overset{⇀}{v} \times \overset{⇀}{v})]; โดย \overset{⇀}{v} \times \overset{⇀}{v} = 0 = 25 [\overset{⇀}{u} \cdot \overset{⇀}{0}] = 0 ข้อ (ง) ผิด ดังนั้น ข้อความที่ถูกต้องมีทั้งหมด 3 ข้อความ$