ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2557 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 15

กำหนดให้ $A B C$ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี $\hat{C}$ เป็นมุมฉาก และ $\hat{A} \leq \hat{B}$ ถ้า ${(\cos 2 A + \cos B)}^{2} + {(\sin 2 A + \sin B)}^{2} = 3$
แล้ว $\tan 3 A$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$- \sqrt{3}$
2
$- 1$
3
$\frac{1}{\sqrt{3}}$
4
$1$
5
$\sqrt{3}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ {(\cos 2 A + \cos B)}^{2} + {(\sin 2 A + \sin B)}^{2} = 3 [\cos^{2} 2 A + 2 \cos 2 A \cos B + \cos^{2} B] + [\sin^{2} 2 A + 2 \sin 2 A \sin B + \sin^{2} B] = 3 จากสมบัติ \sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1 จะได้; (\sin^{2} 2 A + \cos^{2} 2 A) + (\sin^{2} B + \cos^{2} B) + 2 \cos 2 A \cos B + 2 \sin 2 A \sin B = 3 (1) + (1) + 2 \cos 2 A \cos B + 2 \sin 2 A \sin B = 3 2 \cos 2 A \cos B + 2 \sin 2 A \sin B = 1 2 (\cos 2 A \cos B + \sin 2 A \sin B) = 1 \cos 2 A \cos B + \sin 2 A \sin B = \frac{1}{2} \to 1$

$จากสูตร \cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B จาก 1 จะได้ \cos (2 A - B) = \frac{1}{2} \to 2 จากโจทย์ A B C เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม \hat{C} เป็นมุมฉาก และ \hat{A} \leq \hat{B} ดังรูป$

$จากภาพ \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 ° \hat{A} + \hat{B} + 90 ° = 180 ° \hat{A} + \hat{B} = 90 ° จาก 2 กำหนดให้ θ = 2 A - B จะได้ \cos θ = \frac{1}{2} θ = 60 °, - 60 ° แสดงว่า 2 A - B = 60 ° และ 2 A - B = - 60 °$

$พิจารณาเมื่อ 2 A - B = 60 ° \to 3 A + B = 90 ° \to 4 3 + 4; 3 A = 150 ° A = 50 ° B = 40 ° โจทย์กำหนด \hat{A} \leq \hat{B} แสดงว่า เงื่อนไขนี้ใช้ไม่ได$

$พิจารณาเมื่อ 2 A - B = - 60 ° \to 5 A + B = 90 ° \to 6 5 + 6; 3 A = 30 ° A = 10 ° B = 80 ° โจทย์กำหนด \hat{A} \leq \hat{B} แสดงว่า เงื่อนไขนี้ใช้ได้ ดังนั้น \tan 3 A = \tan 3 (10 °) = \tan 30 ° = \frac{1}{\sqrt{3}}$