ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2557 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 16

ถ้า $F$ เป็นโฟกัสที่อยู่ในควอดรันต์ที่ $1$
ของไฮเพอร์โบลา $\frac{x^{2}}{9} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = 1$
แล้ววงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $F$ และสัมผัสกับเส้นกำกับทั้งสองของไฮเพอร์โบลานี้ มีรัศมียาวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$2 หน่วย$
2
$4 หน่วย$
3
$3 \sqrt{3} หน่วย$
4
$6 หน่วย$
5
$4 \sqrt{3} หน่วย$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ ไฮเพอร์โบลา \frac{x^{2}}{9} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = 1 จะได้ ไฮเพอร์โบลามีแกนตามขวางขนานแกน x และ a = 3, b = 4, (h, k) = (0, 2) หาจุดโฟกัส c^{2} = a^{2} + b^{2} c^{2} = 3^{2} + 4^{2} c = 5$

$สูตร จุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลาคือ F (h \pm c, k) = (0 \pm 5, 2) = (5, 2), (- 5, 2) จากโจทย์ F เป็นโฟกัสในควอดรันต์ที่ 1 แสดงว่า F = (5, 2) หาสมการเส้นกำกับไฮเพอร์โบลา ไฮเพอร์โบลามีแกนตามขวางขนานแกน x จะได้สมการเส้นกำกับคือ y - k = \pm \frac{b}{a} (x - h)$

$y - 2 = \pm \frac{4}{3} (x - 0) y - 2 = \pm \frac{4}{3} x จะได้ y - 2 = \frac{4}{3} x และ y - 2 = - \frac{4}{3} x 3 y - 6 = 4 x 3 y - 6 = - 4 x 4 x - 3 y + 6 = 0 4 x + 3 y - 6 = 0 หารัศมีของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ F และสัมผัสกับเส้นกำกับของไฮเพอรโบลา$

$สูตร ระยะห่างจากจุดไปยังเส้นตรงคือ d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} จากภาพ r = d r = \frac{|4 (5) - 3 (2) + 6|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} r = \frac{20}{5} r = 4 หน่วย$