ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2557 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 23

กำหนดให้ $g (x)$ เป็นพหุนามที่ทำให้ฟังก์ชัน $f$ นิยามโดย $f (x) = \{\begin{cases} g (x) & ; x \leq 1 \\ x^{3} + 2 x & ; x > 1 \end{cases}$ ต่อเนื่องที่ $x = 1$ ถ้า $(f \circ g)' (1) = 58$ แล้ว $g' (1)$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$- 2$
2
$- 1$
3
$0$
4
$1$
5
$2$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ (f \circ g)' (1) = 58 โดย (f \circ g)' (x) = f' [g (x)] \cdot g' (x) จะได้ f' [g (1)] \cdot g' (1) = 58 \to 1 - หา g (1) ก่อน เนื่องจาก f ต่อเนื่องที่ x = 1 จะได้ f (1) = \lim_{x \to 1} f (x) \to 2 จากโจทย์ f (x) = \{\begin{cases} g (x) & ; x \leq 1 \\ x^{3} + 2 x & ; x > 1 \end{cases} x = 1 จะได้ f (1) = g (1)$

$จาก 2 จะได้ f (1) = \lim_{x \to 1} f (x); โดย f (1) = g (1) g (1) = \lim_{x \to 1} f (x); \lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} [x^{3} + 2 x] = {(1)}^{3} + 2 (1) g (1) = 3; แทนใน 1$

$จาก 1 จะได้ f' (3) \cdot g' (1) = 58 \to 3 จากโจทย์ f (x) = \{\begin{cases} g (x) & ; x \leq 1 \\ x^{3} + 2 x & ; x > 1 \end{cases} x > 1 จะได้ f (x) = x^{3} + 2 x f' (x) = 3 x^{2} + 2 - แทน x = 3 จะได้ f' (3) = 3 {(3)}^{2} + 2 f' (3) = 29; แทนใน 3 จาก 3 จะได้ 29 \cdot g' (1) = 58 g' (1) = 2$