ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2557 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 25

กำหนดให้ $a$ เป็นจำนวนจริง ซึ่ง $|a| < 1$ ถ้า $S_{n} = {(a + 1)}^{2} + {(a^{2} + 1)}^{2} + {(a^{3} + 1)}^{2} + \dots + {(a^{n} + 1)}^{2}$
แล้ว $\lim_{n \to \infty} (S_{n} - n)$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{a^{2} + a}{1 - a^{2}}$
2
$\frac{a^{2} + 3 a}{1 - a^{2}}$
3
$\frac{2 a^{2} + a}{1 - a^{2}}$
4
$\frac{2 a^{2} + 3 a}{1 - a^{2}}$
5
$\frac{3 a^{2} + 2 a}{1 - a^{2}}$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ S_{n} = {(a + 1)}^{2} + {(a^{2} + 1)}^{2} + {(a^{3} + 1)}^{2} + \dots + {(a^{n} + 1)}^{2} = [a^{2} + 2 a + 1] + [a^{4} + 2 a^{2} + 1] + [a^{6} + 2 a^{3} + 1] + \dots + [a^{2 n} + 2 a^{n} + 1] = (a^{2} + a^{4} + a^{6} + \dots + a^{2 n}) + (2 a + 2 a^{2} + 2 a^{3} + \dots + 2 a^{n}) + (1 + 1 + 1 + \dots + 1) = (a^{2} + a^{4} + a^{6} + \dots a^{2 n}) + 2 (a + a^{2} + a^{3} + \dots a^{n}) + (n)$
$จะได้ S_{n} - n = (a^{2} + a^{4} + a^{6} + \dots + a^{2 n}) + 2 (a + a^{2} + a^{3} + \dots + a^{n}) \lim_{n \to \infty} (S_{n} - n) = \lim_{n \to \infty} [a^{2} + a^{4} + a^{6} + \dots + a^{2 n}] + 2 \lim_{n \to \infty} [a + a^{2} + a^{3} + \dots + a^{n}] \to 1 จาก 1 มีอนุกรมอนันต์ 2 ชุด ที่มีอัตราส่วนร่วม (r) คือ a^{2} และ a จากโจทย์ |a| < 1 แสดงว่า |a^{2}| < 1 เช่นกัน แสดงว่า อนุกรมอนันต์ 2 ชุด เป็นอนุกรมลู่เข้า$

$จากสูตร S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r} โดย |r| < 1 จาก 1 \lim_{n \to \infty} (S_{n} - n) = \lim_{n \to \infty} [a^{2} + a^{4} + a^{6} + \dots + a^{2 n}] + 2 \lim_{n \to \infty} [a + a^{2} + a^{3} + \dots + a^{n}] = \frac{a^{2}}{(1 - a^{2})} + \frac{2 a}{(1 - a)} = \frac{a^{2}}{(1 - a^{2})} + \frac{2 a (1 + a)}{(1 - a) (1 + a)} = \frac{a^{2}}{(1 - a^{2})} + \frac{2 a + 2 a^{2}}{(1 - a^{2})} = \frac{3 a^{2} + 2 a}{(1 - a^{2})}$