ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2558 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 13

ถ้า $A$ และ $B$ เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ $A = \{z | z^{12} = 1\}$ และ $B = \{z | z^{18} - z^{9} - 2 = 0\}$ แล้วจำนวนสมาชิกของ $A \cap B$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$1$
2
$2$
3
$3$
4
$6$
5
$8$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตรรากที่ n z = r (cosθ + isinθ) จะได้ z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} [\cos (\frac{θ + 2 πk}{n}) + isin (\frac{θ + 2 πk}{n})] z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} cis (\frac{θ + 2 πk}{n}) \to a เมื่อ k = 0, 1, 2, . . ., n - 1$

$จากโจทย์ A = \{z z^{12} = 1\} z^{12} = 1 ในรูปเชิงขั้วจะได้ z^{12} = 1 (\cos 0 ° + isin 0 °) z^{12} = (\cos 0 ° + isin 0 °) ใส่รากที่ 12; จาก a จะได้ {(z^{12})}^{\frac{1}{12}} = cis (\frac{0 + 2 πk}{12}) z_{A} = cis (\frac{kπ}{6}) เมื่อ k = 0, 1, 2, . . ., 11$

$จากโจทย์ B = \{z | z^{18} - z^{9} - 2 = 0\} z^{18} - z^{9} - 2 = 0 กำหนดให้ x = z^{9} จะได้ x^{2} - x - 2 = 0 (x - 2) (x + 1) = 0 จะได้ x - 2 = 0 หรือ x + 1 = 0 x = 2 x = - 1 z^{9} = 2 z^{9} = - 1$

$จัดให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว จะได้ z^{9} = 2 (\cos 0 ° + isin 0 °) หรือ z^{9} = 1 (cosπ + isinπ) z^{9} = 2 cis 0 z^{9} = 1 cisπ จาก a จะได้ {(z^{9})}^{\frac{1}{9}} = 2^{\frac{1}{9}} cis (\frac{0 + 2 πk}{9}) {(z^{9})}^{\frac{1}{9}} = 1^{\frac{1}{9}} cis (\frac{π + 2 πk}{9}) z_{B 1} = 2^{\frac{1}{9}} cis (\frac{2 kπ}{9}) z_{B 2} = cis (\frac{π + 2 πk}{9})$

$จากโจทย์ จำนวนสมาชิกของ A \cap B พิจารณาคำตอบของ A และ B เซต A z_{A} = cis (\frac{kπ}{6}) เซต B z_{B 1} = 2^{\frac{1}{9}} cis (\frac{2 kπ}{9}), z_{B 2} = cis (\frac{π + 2 kπ}{9}) จะเห็นว่า 2^{\frac{1}{9}} ของ z_{B 1} ไม่มีทางซ้ำกับ z_{A} (เพราะ ค่า r ไม่เท่ากัน) (ตัด z_{B 1} ทิ้ง ไม่ต้องนำมาพิจารณาต่อ) ดังนั้น พิจารณาเฉพาะ z_{A} และ z_{B 2} ที่มา \cap กัน$

$เซต A z_{A} = cis (\frac{kπ}{6}) เมื่อ k = 0, 1, 2, . . ., 11 - พิจารณาอาร์กิวเมนต์ของ A จะได้ \frac{kπ}{6} = 0, \frac{π}{6}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}, \frac{5 π}{6}, π, \frac{7 π}{6}, \frac{4 π}{3}, \frac{3 π}{2}, \frac{5 π}{3}, \frac{11 π}{6}$

$เซต B z_{B 2} = cis (\frac{π + 2 kπ}{9}) เมื่อ k = 0, 1, 2, . . ., 8 จะได้ \frac{π + 2 kπ}{9} = \frac{π}{9}, \frac{π}{3}, \frac{5 π}{9}, \frac{7 π}{9}, π, \frac{11 π}{9}, \frac{13 π}{9}, \frac{5 π}{3}, \frac{17 π}{9} ดังนั้น อาร์กิวเมนต์ของ A \cap B = \frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3} แสดงว่า จำนวนสมาชิกของ A \cap B เท่ากับ 3$

ข้อถัดไป